AcWing 873.欧拉函数

最新推荐文章于 2025-07-27 20:28:43 发布

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#算法

该问题描述了欧拉函数的概念，即1到N中与N互质的数的数量，并提供了使用容斥原理计算欧拉函数的步骤。通过分解质因数，逐步排除和添加不同质因数的倍数来得到答案。代码示例展示了如何计算给定正整数的欧拉函数值。

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AcWing 873.欧拉函数

题目描述

给定n组

欧拉函数定义

1~N中与N互质的数的个数被称为欧拉函数，记为Φ(N)。
互质是公约数只有1的两个整数，叫做互质整数。
eg:求Φ(6)，和6只有公约数为1的数有1和5，一共两个数，所以Φ(6) = 2

p₁ 到 p_k 是N的质因子
若在算数基本定理中，有
$N = p_1^{α1} * p_2^{α2} * ... * p_k^{αk}$

证明欧拉函数（使用容斥原理）：
首先我们假设N的所有质因数是p₁到p_k，求1 ~N-1中与N互斥的数的个数s
1、从1 ~ N中去掉p₁p₂…p_k的所有倍数
$\frac {N} {p_1} - \frac {N} {p_2} -...- \frac {N} {p_k}$
2、加上所有p_i * p_j的倍数
$\frac {N} {p_1} - \frac {N} {p_2} -...- \frac {N} {p_k} + \frac {N} {p_1 p_2} + \frac {N} {p_1 p_3} + ...+ \frac {N} {p_i p_j}$
3、减去所有p_i * p_j * p_k 的倍数
$\frac {N} {p_1} - \frac {N} {p_2} -...- \frac {N} {p_k} + \frac {N} {p_1 p_2} + \frac {N} {p_1 p_3} + ...+ \frac {N} {p_i p_j}- \frac {N} {p_1p_2p_3} - \frac {N} {p_1p_2p_4} -...- \frac {N} {p_ip_jp_k}$
4、以此类推…。
5、最后求出欧拉函数的核心公式(最重要)：
$*(1-\frac {1} {p_1}) * (1-\frac {1} {p_2}) * ... *(1-\frac {1} {p_k})$

输入格式

第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一个正整数α_i。

输出格式

输出共n行，每行输出一个正整数α_i的欧拉函数。

数据范围

1 ≤ n ≤ 100,

1 ≤ α_i ≤ 2 * 10⁹

输入样式：

输出样式：

2
2
4

代码：

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std;
 
typedef long long ll;   // 数据范围较大记得用long long
const int N = 110;
 
int n;
 
int main()
{
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int cnt = 0;
        ll primes[N];
        int x;
        cin >> x;

        ll ans = x;

        // 先分解质因数
        for(int i = 2 ; i <= x / i ; i ++ )
        {
            if(x % i == 0)
            {
                ans = ans / i * (i - 1);    // ans = ans * (1 - 1 / x)，需要化简，结果就是ans = ans / i * (i - 1)
                while(x % i == 0) x /= i;
            }
        }
        
        if(x > 1) ans = ans / x * (x - 1);  // 最后一个比较大的质因子x
 
         
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}