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最新推荐文章于 2021-09-13 20:53:15 发布

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分类专栏：几何文章标签：极角

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本文介绍了一种高效算法，用于从给定的n个坐标中计算可形成凸四边形的数量，通过枚举内点并利用极角排序减少计算复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给定 n 个坐标，从中选取四个组成凸四边形，求可以组成的凸四边形数量（n<=700）

分析：暴力枚举四个点然后判断肯定会超时，我们知道任意一个凹四边形都可以看作一个三角形内包含着一个点，那么我们可以枚举这个三角形内的内点，然后找出所有的三角形可以包含这个点的数量，即凹四边形的数量，再用C(n,4)减去凹四边形的数量，即是凸四边形的数量；

以当前枚举的点为原点坐标，把其余所有的点按极角排序，枚举起点，找到第一个点与起点的极角大于 pi (180°) ，则在这两点之间任取两个点，这两个点与起点还有原点组成的四边形必然是凸多边形(极角的性质需要知道)，C(n-1,3)即是以这个点为一个必选点可以组成的四边形个数，再减去凸多边形的数量，即是以这个点为内点组成的凹四边形的数量，由此，枚举每个点作为内点累加凹多边形的答案，最后C(n,4)减去即可。

可能有人会疑惑为什么不直接累加凸四边形的答案，因为凸四边形的计算会出现重复，而凹四边形不会，因为我们是以内点枚举，而对于确定的凹四边形来说，它只有一个确定的内点，因此我们每次枚举的凹四边形是无重复情况的

代码：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define eps 1e-8
using namespace std;

typedef long long ll;
const double pi=acos(-1.0);

struct node
{
	double x,y;
}jeo[1000];
double ans[2000];

ll C(int a,int b)
{
	ll ans=1;
	for(int i=0;i<b;i++) ans*=(a-i);
	for(int i=2;i<=b;i++) ans/=i;
	return ans;
}

int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		ll cnt=0;
		int n;
		scanf("%d",&n);
		for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lf%lf",&jeo[i].x,&jeo[i].y);
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			for(int j=0;j<n;j++)
			{
				if(i==j) continue;
				double tmp=atan2(jeo[j].y-jeo[i].y,jeo[j].x-jeo[i].x);
				if(tmp<=-eps) tmp+=2*pi;
				j<i?ans[j]=tmp:ans[j-1]=tmp;
			}
			sort(ans,ans+n-1);
			for(int j=0;j<n-1;j++) ans[j+n-1]=ans[j]+2*pi;
			int k=1;
			ll tot=0;
			for(int j=0;j<n-1;j++)
			{
				while(fabs(ans[k]-ans[j])<pi) k++;
				if(k-j-1>=2) tot+=C(k-j-1,2);
			} 
			cnt+=C(n-1,3)-tot;
		}
		printf("%lld\n",C(n,4)-cnt);
	}
}