不定积分常用公式

基本

$$\int x^{a}dx=\frac{1}{1+a}{x}^{1+a}+C(a\ne -1)$$

$$\int \frac{1}{x}dx=In|x|+C$$

$$\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C$$

$$\int a^{x}dx=\frac{1}{Ina}{a}^x+C$$

$$\int e^{x}dx=e^x+C$$

三角函数

正弦

$$\int sinxdx=-cosx+C$$

$$\int secxdx=ln|secx+tanx|+C$$

$$\int se{c}^{2}xdx=tanx+C$$

$$\int tanxdx=-ln|cosx|+C$$

$$\int secxtanxdx=secx+C$$

余弦

$$\int cosxdx=sinx+C$$

$$\int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C$$

$$\int cs{c}^{2}xdx=-cotx+C$$

$$\int cotxdx=ln|sinx|+C$$

$$\int cscxcotxdx=-cscx+C$$

反三角函数与分式积分

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C$$

$$\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}In|\frac{a+x}{a-x}|+C$$

$$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}In|\frac{x-a}{x+a}|+C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=In|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C$$

根号积分

$$\int \sqrt{x^2+a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$$

$$\int \sqrt{x^2-a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$$

$$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+C$$

其他扩展

消幂

类似于$\int x^m{e}^{\lambda x}dx$、$\int x^{m}l{n}^{n}xdx$、$\int x^{m}sinax/cosaxdx$，可用表格法计算，具体为：

对角相连，正负相间，上导下积，导到0停。

三角代换

$\sqrt{a^2-x^2}\to x=asint$、$\sqrt{a^2+x^2}\to x=atant$、$\sqrt{x^2-a^2}\to x=asect$
$$si{n}^{2}x=\frac{1-cos2x}{2}$$

$$co{s}^{2}x=\frac{1+cos2x}{2}$$

$$sin2x=2sinxcosx$$

$$cos2x=co{s}^{2}x-si{n}^{2}x=2co{s}^{2}x-1=1-2si{n}^{2}x$$

万能替换公式：令$u=tan\frac{x}{2}$，$x=2arctanu$，$dx=\frac{2}{1+u^2}du$
$$sinx=\frac{2tan\frac{x}{2}}{1+ta{n}^2\frac{x}{2}}=\frac{2u}{1+u^2}$$

$$cosx=\frac{1-ta{n}^2\frac{x}{2}}{1+ta{n}^2\frac{x}{2}}=\frac{1-u^2}{1+u^2}$$

$tanx=\frac{sinx}{cosx}$、$secx=\frac{1}{cosx}$、$cotx=\frac{1}{tanx}$、$cscx=\frac{1}{sinx}$

特殊公式

$$\int e^{ax}sinbx/cosbxdx=\frac{1}{a^2+b^2}\cdot \left|\begin{array}{cc}(e^{ax}{)}^{\prime }& (sinbx{)}^{\prime }\\ e^{ax}& sinbx\end{array}\right|+C=\frac{1}{a^2+b^2}\cdot (a{e}^{ax}sinbx-b{e}^{ax}cosbx)+C$$

$$\int \frac{1}{a^{2}si{n}^{2}x+b^{2}co{s}^{2}x}dx=\int \frac{1}{co{s}^{2}x(a^{2}ta{n}^{2}x+b^2)}dx=\frac{1}{a}\int \frac{1}{(atanx{)}^2+b^2}datanx=\frac{1}{ab}arctan\frac{atanx}{b}+C$$

有理函数拆分

$$\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)}\to \frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+2)}+\frac{C}{(x+3)}$$

$$\frac{1}{(x+1{)}^2(x-1)}\to \frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+1{)}^2}+\frac{C}{(x-1)}$$

$$\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}\to \frac{A}{(x-1)}+\frac{Bx+C}{(x^2+1)}$$