XMU区域赛选拔赛题解

XMU区域赛选拔赛题解

B.是谁打了奶奶

Description

最近发生了一起骇人听闻的打奶奶事件，凶手就是——惊奇队长。
惊奇队长是在电车上打的奶奶，那么我们就来看一个和电车有关的问题。
某市修建了若干条单向通行的电车轨道，每条轨道连接了两个生活区，形成一个n个点m条边的有向图。
现在要规划若干条电车线路，满足如下条件：
1.每条电车线路必须是一个环，也就是说，电车能沿着这条线路循环运行。
2.每个生活区必须恰好在一条电车线路上。
3.每条轨道至多在一条线路上。
所以我们感兴趣的是，能否安排出满足条件的方案?

Format

• Input
  每个测试点包含至多100组输入数据，请处理至文件结束。
  对于每组数据，第一行两个整数n和m($n\le 1000,m\le 2000$)，表示有向图的点数和边数。
  接下来m行，每行两个整数$u,v(1\le u,v\le n)$，表示有一条通行方向从u到v的电车轨道。
  至多5组数据满足$n>100,m>200$，图中可能有重边或自环。
• Output
  按照输入顺序，对于每组数据输出一行。
  如果可以安排出这样的方案，输出“Yes”，否则输出“No”（不含引号）。

Sample 1

• Input

4 5
1 2
2 3
3 1
2 4
4 1

• Output

No

---

题解

思维题。在一个环覆盖中，每个点仅有其前驱结点与后继结点。所以我们可以把每个点$u$拆成$u_1,u_2$，对于每条边，连边变成$(u_1,v_2)$。在一个环上，每个点的$u_1,u_2$都会连有且只有一次。我们惊喜的发现：这不就是一个裸的二分图匹配问题了吗！如果二分图的最大匹配为$n$，就是$Yes$，否则$No$。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn=1005;
int n,m;
int head[maxn],eg_num;

struct edge
{
    int nex;
    int to;
}eg[2*maxn];

void add(int a,int b)
{
    eg[++eg_num].nex=head[a];
    head[a]=eg_num;
    eg[eg_num].to=b;
}

int comb[maxn],dfn[maxn],tim;
int dfs(int rt)
{
    for(int i=head[rt];i;i=eg[i].nex)
    {
        int to=eg[i].to;
        if(dfn[to]==tim) continue;
        dfn[to]=tim;
        if(!comb[to]||dfs(comb[to]))
        {
            comb[to]=rt;
            return 1;
        }
    }
    return 0;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        int ans=0;
        eg_num=0;tim=0;
        memset(head,0,sizeof(head));
        memset(dfn,0,sizeof(dfn));
        memset(comb,0,sizeof(comb));
        for(int i=1,a,b;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            add(a,b);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            ++tim;
            if(dfs(i)) ans++;
        }
        if(ans==n) printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
    }
    return 0;
}

D.塔子哥数数

Description

某日药水哥直播的时候，教塔子哥背九九乘法表。当塔子哥连背了几遍“九六七十二”之后，药水哥有点绝望，便想从更基础的问题教起——数数，现在请你也和塔子哥一起数。
首先在正整数集上定义函数$g(n)$：
1.$g(1)=1$
2.如果n能表示成若干个两两不同质数的乘积，那么$g(n)=1$,否则$g(n)=0$
现在有一张纸上面，从左到右写了$g(1),g(2),...,g(n)$，药水哥问塔子哥这个数是多少，也就是把$g(1)g(2)g(3)...g(n)$连起来看成一个10进制数，其中g(1)是最高位，那么这个数是多少。
这个数可能很大，请输出这个数对于1000000007取模的结果。

Format

• Input
  每个测试点仅包含一组输入数据，一行一个正整数n（1$\le$n$\le$$10^{11}$)
• Output
  输出一行一个正整数代表本题答案。

Sample 1

• Input

4

• Output

1110

---

题解

数论好题，考察莫比乌斯函数的本质。我们先来回忆一下莫比乌斯函数的定义：

• 当n不等于1时，n所有因子的莫比乌斯函数值的和为0。
  即：$$\sum _{d|x}\mu (d)=\{\begin{array}{ll}1& \text{x=1}\\ 0& \text{x>1}\end{array}$$
• 从通俗上讲，它有如下几个特征：
  1）莫比乌斯函数μ(n)的定义域是正整数
  2）μ(1)=1
  3）当n存在平方因子时，μ(n)=0
  4）当n是素数或奇数个不同素数之积时，μ(n)=-1
  5）当n是偶数个不同素数之积时，μ(n)=1

$$\mu (x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{x=1}\\ (-1{)}^k& \text{x=p1p2...pk}\\ 0& \text{其余情况}\end{array}$$

---

我们惊喜地发现，$g(x)$就是$\mu (x)$的绝对值！妈妈我会线性推！再一看数据范围，$10^{11}$。。。想了半天，决定跳过此题。

还是对数据不够敏感。这种数据范围显然应当是根号做法。正难则反，我们可以先考虑所有位是$1$，再刨除$g(i)=0$的位置。

1. 计算所有位是1的n位数对$1000000007$取模

容易观察到，$S(n)=$$\frac{10^n-1}{9}$。
所以简简单单地求个快速幂和9的逆元就好啦！

2. 计算$g(i)=0$的位置贡献的值

由$g(x)$的定义，我们可以看出所有$2^2,3^2,...,k^2(k^2\le n)$的倍数要被刨除。对于$k^2$，我们要刨除的总和：
由于$g(k^2),g(2k^2)...$从高位向地位排列，因此这是一个以$10^{n-k^2}$为首项、$10^{-k^2}$为公比、$\lfloor$$\frac{n}{k^2}$$\rfloor$为项数的等比数列。因此，

$S(k)=\frac{10^{n-k^2}(1-10^{-k^2\ast \lfloor \frac{n}{k^2}\rfloor })}{1-10^{-k^2}}$

3. 用容斥原理排除重复计算

如果减去每一个$S(k)$，显然会有重复。比如考虑$k=6$，就已经在$k=2,k=3$减去过两次了，因此还要再加上$S(6)$。考虑$k=30$，在$k=2,3,5$共减了三次，又在$k=6,10,15$加了3次，因此要减去$S(30)$。。。想到了什么？莫比乌斯函数！每个$k$的容斥系数就是它的莫比乌斯函数值！可以用数学归纳法简单证明：

1. $k=2,3$时满足容斥系数$-1=\mu (2)=\mu (3)$
2. 每个数计算之前已经扣除了除1以外的所有约数各一次。若前$x-1$个数的容斥系数均为其对应的莫比乌斯函数：我们知道计算$x$之前已经计算了除$x$本身和1之外的所有约数各一次，对应的容斥系数均为其莫比乌斯函数。我们要求每个$k$只扣除一次。由于1不在考虑范围以及$\mu (1)=1$，因此$x$的容斥系数为：$-1-[{\sum }_{d|x}\mu (d)-\mu (1)-\mu (x)]=\mu (x)$

4. 得到答案

$ans=\frac{10^n-1}{9}+{\sum }_{k=2}^{k^2\le n}\mu (k)\ast \frac{10^{n-k^2}(1-10^{-k^2\ast \lfloor \frac{n}{k^2}\rfloor })}{1-10^{-k^2}}$

#include <iostream>
#include <cstdio>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int mod=1000000007;
const int maxn=1e6;
ll n;

int mu[maxn],prime[maxn],num[maxn],p_num;
//求莫比乌斯函数板子
void get_mu()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(!num[i])
        {
            prime[++p_num]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=p_num&&i*prime[j]<maxn;j++)
        {
            num[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            else
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
}
//快速幂板子
int ksm(int a,ll b)
{
    int ans=1,base=a;
    while(b>0)
    {
        if(b&1) ans=1LL*ans*base%mod;
        base=1LL*base*base%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
//求逆元板子
void ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0) {x=1; y=0;}
    else
    {
        ex_gcd(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;
    }
}
int ni(int a,int p)
{
    int x=0,y=0;
    ex_gcd(a,p,x,y);
    x=(x%p+p)%p;
    return x;
}

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    ll ans=1LL*(ksm(10,n)-1)*ni(9,mod)%mod;
    get_mu();
    for(ll i=2;i*i<=n;i++)
    {
        int tmp1=(ksm(10,1LL*i*i*(n/(i*i)))-ksm(10,i*i*(n/(i*i)-1))+mod)%mod;
        int tmp2=(ksm(10,1LL*i*i*(n/(i*i)))-1+mod)%mod;
        int tmp3=ksm(10,n-i*i);
        int tmp4=1LL*mu[i]*tmp2*tmp3%mod*ni(tmp1,mod)%mod;
        if(mu[i]>0) ans=(ans+tmp4)%mod;
        else if(mu[i]<0) ans=(ans+tmp4+mod)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

F.故乡的樱花树

Description

又到了故乡樱花盛开的时节，川桑想把樱花树移栽到双流机场，因为他相信那个女人有一天会回来的，那时候要有童话般的场景。
樱花树可以看成n个点n-1条边的无向连通图，为了长途运输，它的直径不能太大，这里的直径就是图中最长的简单路径的长度（路径上边权之和）。
现在，已经知道樱花树上所有的边长度之和为m，请你为每条边分配一个边权$E_i$，使得所有$E_i$的和等于m，并且樱花树的直径最小。
你只需要输出最小的树的直径保留6位小数的结果。

Format

• Input
  每个测试点仅包含一组输入数据。
  第一行两个正整数n和m(2$\le$n$\le$$100000$,1$\le$m$\le$$10^9$)
  接下来n-1行，每行两个正整数x,y(1$\le$x,y$\le$n)，表示x号节点和y号节点之间存在一条边。
  保证输入数据为一棵樱花树。
• Output
  一行一个实数，保留6位小数，为最小的直径。

Sample 1

• Input

4 3
1 2
1 3
1 4

• Output

2.000000

---

题解

直径的两端是叶子结点。我们来贪心一下：所有直径的长度都相等。

• 证明：如果不是所有路径的长度都相等，那么必有一条（或多条）最长路径、和一条（或多条）最短路径。我们将最长路径的部分权值分给最短路径，答案必定会减小。
  这是一个纳什均衡。

一个显然的构造方案：设k为叶子结点的个数，那么给每个叶子结点赋权值$\frac{m}{k}$、其余结点赋权值0，显然所有的树上路径权值之和即为$\frac{2m}{k}$。

• 并不严密的正确性证明：对于一颗固定的树，其所有树上路径是确定的，也就是说统计所有树上路径时，每个点被计算的次数是确定的。每条树上路径的权值之和等于$\frac{总权值和}{树上路径数}$，因此我们要让总权值和尽量小，即给经过次数多的点尽量少的权值。易知父亲结点经过的次数要多于儿子节点。因此将所有权值赋给儿子节点最优。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100005;
int n,m;
int tim[maxn],num;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,x,y;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		tim[x]++;tim[y]++;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(tim[i]==1) num++;
	}
	printf("%.6lf\n",2.0*m/num);
    return 0;
}

G.凶手找到了

Description

感谢移动互联网，每当发生一件坏事的时候，我们总是能够立刻找到凶手。
事实上，大家也都知道，所有的坏事都是同一个人干的，每100件坏事就有6324件是他干的。
现在又有一件坏事发生了，请你告诉大家凶手的名字。

Format

• Input
  每个测试点仅包含一组输入数据，一行一个字符串，长度不超过1000000。
  这个字符串可能包含大小写英文字母，空格，英文逗号、英文句号、英文问号和英文感叹号，描述一件坏事。
• Output
  一行一个字符串，凶手的名字。

Sample 1

• Input

Who has killed Albus Dumbledore?

• Output

Xiaochuan Sun

---

题解

签到题不多说。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
char s[1000005];

int main()
{
    gets(s);
    printf("Xiaochuan Sun\n");
    return 0;
}

H.抽象思维派系

Description

学习抽象学派，最关键的是要掌握抽象思维，将一切都抽象起来。
生活处处有抽象，比如我们耳熟能详的“扫雷”，就有一个更加抽象的版本：
给出一个无向图，请你支持如下两种操作：
1.在a号节点上放b个地雷。
2.查询a号节点所有相邻节点（不包括a号节点自己）的地雷总数。
两个节点相邻当且仅当它们之间有边，所有节点一开始都没有地雷。

Format

• Input
  每个测试点仅包含一组测试数据。
  第一行三个整数$n,m,Q$($n,m,Q$$\le$$200000$)，表示无向图的点数，边数和操作总数。
  接下来$m$行，每行两个整数$u,$($1\le u,v\le n$)，表示u号节点和v号节点之间有一条无向边。
  接下来Q行，每行是如下两种形式之一。
  1 a b，表示在a号节点上放b个地雷($1$$\le$$a$$\le$n，$1$$\le$$b$$\le$$10^9$)。
  2 a，表示查询a号节点所有相邻节点（不包括a号节点自己）的地雷总数($1$$\le$$a$$\le$$n$)。
  输入的无向图可能有重边，但一定没有自环。
• Output
  按照输入顺序，对于每个查询操作，输出一行一个整数，表示本次查询的答案。

Sample 1

• Input

4 6 4
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4
1 1 4
2 4
1 2 4
2 3

• Output

4
8

---

题解

非常具有启发性的一道题。
直接暴力显然是过不了的。不断修改、查询度数很大的点，复杂度$O(qm)$，直接爆炸。我们T了一发之后感觉是道数据结构题，又没想到该怎么维护，就搁置下来了。
我们分析一下：一共m条边连接了2m次点，因此度数超过$\sqrt{2m}$的点的数目不超过$\sqrt{2m}$。我们便可以将所有的点分为这么两类：度数小于$\sqrt{2m}$的点为0类，否则为1类。
当放地雷的时候，如果是0类点就暴力将所有相邻点的答案加上放的地雷数；如果是1类点就在这个点上打标记。放单个地雷的复杂度便是$O(\sqrt{m})$。
我们注意到所有拥有标记的点都是1类点。因此我们可以重新构图：每个点只与原先相连的点中的1类点连接。
当查询点时候，ans等于自身的ans（来自于相邻的0类点暴力赋予）再加上所有相邻1类点的标记总数。由于1类点点数量小于$\sqrt{2m}$，因此单个查询的复杂度也是$O(\sqrt{m})$。
于是我们得到了$O(q\sqrt{m})$的算法。
算法的核心就是：巧妙利用分类讨论，将 $O(1)$ 查询 $O(m)$ 放置或者$O(1)$放置$O(m)$查询均摊到 $O(\sqrt{m})$ 的查询与放置。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <set>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn=200005;
int n,m,q;
int head[maxn],eg_num;
int n_head[maxn],n_eg_num;
set < pair<int,int> > s;//记录每条边
set < pair<int,int> >::iterator it;

struct node
{
    ll ans;//每个点通过暴力获得的答案
    int deg;//点点度数
    int flag;//0或1类点
    ll tag;//1类点的标记
}nd[maxn];

struct edge
{
    int nex;
    int to;
}eg[2*maxn],n_eg[2*maxn];

void add(int a,int b)
{
    eg[++eg_num].nex=head[a];
    head[a]=eg_num;
    eg[eg_num].to=b;
}
//重新构造图的时候用
void n_add(int a,int b)
{
    n_eg[++n_eg_num].nex=n_head[a];
    n_head[a]=n_eg_num;
    n_eg[n_eg_num].to=b;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1,a,b;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        //排除重边，顺便记录下所有的边
        it=s.find(make_pair(a,b));
        if(it==s.end())
        {
            add(a,b);add(b,a);
            nd[a].deg++;nd[b].deg++;
            s.insert(make_pair(a,b));
            s.insert(make_pair(b,a));
        }
    }
    //按照点的度数做标记
    int lim=sqrt(2*m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(nd[i].deg>lim) nd[i].flag=1;
        else nd[i].flag=0;
    }
    //重构图：每个点只连接1类点
    for(it=s.begin();it!=s.end();it++)
    {
        int a=it->first,b=it->second;
        if(nd[a].flag) n_add(b,a);
    }
    //开始询问
    for(int i=1,tmp,a,b;i<=q;i++)
    {
        scanf("%d",&tmp);
        //添加地雷
        if(tmp==1)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            //如果这个点的度数小，就把所有相邻点的答案增加
            if(nd[a].flag==0)
            {
                for(int i=head[a];i;i=eg[i].nex)
                {
                    int to=eg[i].to;
                    nd[to].ans+=b;
                }
            }
            //否则给这个点自身添加标记
            else
            {
                nd[a].tag+=b;
            }
        }
        //开始询问
        else
        {
            scanf("%d",&a);
            //每个点的答案等于自身点答案再加上所有相邻的、1类点的标记和
            ll ans=nd[a].ans;
            for(int i=n_head[a];i;i=n_eg[i].nex)
            {
                int to=n_eg[i].to;
                ans+=nd[to].tag;
            }
            printf("%lld\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}

I.南海观音

Description

参拜南海观音回来之后，小孙明白了很多。
世界是永世的轮回，每个轮回对应一种缘分的组合，迟早，每个人都会尝遍所有的组合。
好在，不用等到所有的轮回结束，我们就可以用我们有限的智慧预测所有的组合，比如下面这道题。
对于一个无向图，若其中某个点的度数为deg，那么它的价值是$bas{e}^{deg}$ ，一个无向图的价值是它所有点的价值和。
请统计所有n个点的不同的简单无向图（即没有重边和自环的无向图）的价值和，两个无向图不同当且仅当存在两个点，在一个无向图中有边直接相连，而在另一个无向图中没有。

Format

• Input
  每个测试点仅包含一组输入数据。
  第一行两个正整数n,base(1$\le$n,base$\le$$10^9$)，含义如题面所述。
• Output
  输出一行一个正整数，为题目所求答案对998244353取模的结果。

Sample 1

• Input

3 1

• Output

24

---

题解

显而易见，所有点对于无向图来说都是对称的。也就是说所有点对于价值和的贡献是相同的，因此我们只需要考虑单个点。

• n个点的无向图中，任意两个点可以连一条边，因此有$\frac{n(n-1)}{2}$条边，选择连或不连，由乘法原理可知共$2^{\frac{n(n-1)}{2}}$种无向图。
  所以任取一个点，剩下的$n-1$个点共$2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}$种无向图。
• 设这个点的度数为$deg$，即这个点连出了$deg$条边。对于每种无向图，都有$C_{n-1}^{deg}$种连法
• 这个点会连出去0至$n-1$条边。因此对于这$n-1$个点的每种无向图，选取的点贡献价值：${\sum }_{deg=0}^{n-1}$ $bas{e}^{deg}$ $\ast$ $C_{n-1}^{deg}$
  细心的同学肯定能就发现了——然而比赛里面我推到这卡住了，队友救了我一命，这不就是二项式定理吗！
  然后就愉快的得出了上式的化简形式：${(base+1)}^{n-1}$

所以推得最终的答案：

$ans$ $=$ $n$ $\ast$ $2^{\frac{n(n-1)}{2}}$ $\ast$ ${(base+1)}^{n-1}$
两个快速幂完事！
然而比赛里面不小心爆了一次long long，差点成为千古罪人

#include <iostream>
#include <cstdio>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,base;

ll ksm(int a,ll b)
{
    int ans=1,base=a;
    while(b>0)
    {
        if(b&1) ans=1LL*ans*base%mod;
        base=1LL*base*base%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&base);
    ll tmp=1LL*(n-1)*(n-2)/2;
    int ans=1LL*n*ksm(2,tmp)%mod*ksm(base+1,n-1)%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

J.玩蛇

Description

这个题和孙哥实在扯不上什么关系。
Alice和Bob来到了一个充满着多头蛇的世界，可是他们对蛇并不在乎，他们只想玩游戏。
现在有n条多头蛇，每条多头蛇都有一些奇怪的性质：
对于一条$a_i$ 头蛇
1.它有着1号，2号，3号…$a_i$号共$a_i$个头
2.砍掉编号为x的头，若x<$a_i$x<a，该蛇将分裂成一条$a_i$$-1$头蛇，一条$a_i$$-2$头蛇…一条$a_i$$-$$x$头蛇。若$x=$ $a_i$，则该蛇将会被击杀。
现在有n条多头蛇，第i条多头蛇有$a_i$a个头
Alice和Bob轮流对他们进行砍头，谁不能砍了谁就输了。
因为Alice字典序比较靠前所以Alice先砍，请问在双方都采取最优策略的情况下，最后谁能赢得胜利？

Format

• Input
  每个测试点包含多组输入数据。
  第一行一个正整数T(T$\le$$100$)，表示数据组数。
  对于每组数据，第一行一个正整数n(1$\le$n$\le$$1000$)。
  接下来一行n个正整数，第i个整数表示$a_i$ (1$\le$$a_i$$\le$$10^{18}$)
• Output
  按照输入顺序，对于每组数据输出一行，如果Alice获得胜利，请输出"Alice"，否则请输出"Bob"（不加引号）。

Sample 1

• Input

1
2
1 1

• Output

Bob

---

题解

博弈论。题意是x可以变成从x-1开始到任意大于0的数这连续的若干个数，或者x变成0。
很明显是nim游戏的变种，求出sg函数最后异或起来。一看数据范围，1$\le$$a_i$$\le$$10^{18}$，wtf?? 线性推都不让？不管了，先打一波表为敬。加个前缀和优化，$O(n^2)$做法美滋滋

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int sg[205],mex[205],beg[205];

int main()
{
    sg[1]=1;sg[2]=2;
    beg[1]=1^2;beg[2]=2;
    for(int i=3;i<=200;i++)
    {
        memset(mex,0,sizeof(mex));
        for(int j=1;j<i;j++) mex[beg[j]]++;
        for(int j=1;;j++)
        {
            if(!mex[j])
            {
                sg[i]=j;
                break;
            }
        }
        for(int j=1;j<i;j++) beg[j]^=sg[i];
        beg[i]=sg[i];
    }
    for(int i=1;i<=200;i++) printf("sg[%d]: %d\n",i,sg[i]);
    return 0;
}

然后得到了如下的东东，就快乐地打印代码把电脑交给队友。

sg[1]: 1
sg[2]: 2
sg[3]: 1
sg[4]: 4
sg[5]: 1
sg[6]: 2
sg[7]: 1
sg[8]: 8
sg[9]: 1
sg[10]: 2
sg[11]: 1
sg[12]: 4
sg[13]: 1
sg[14]: 2
sg[15]: 1
sg[16]: 16
sg[17]: 1
sg[18]: 2
sg[19]: 1
sg[20]: 4
sg[21]: 1
sg[22]: 2
sg[23]: 1
sg[24]: 8
sg[25]: 1
sg[26]: 2
sg[27]: 1
sg[28]: 4
sg[29]: 1
sg[30]: 2
sg[31]: 1
sg[32]: 32

定睛一看，sg函数值不就是约数里有2的几次方就是几吗？蒟蒻并不精通树状数组，没想到lowbit仍然沉浸在打表找到规律的喜悦中的我，就得到一个快乐的$O(T\ast n\ast loga)$的做法。其实现在还没太明白为啥会T掉。直到精通树状数组的队友提醒了我，我还保险起见加了个快速度入，才A了这题。

#include <iostream>
#include <cstdio>
typedef long long ll;
using namespace std;
int t,n;

inline ll read()
{
    ll f=1,x=0;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') {x=10*x+(ch-'0');ch=getchar();}
    return f*x;
}

int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        ll ans=0,tmp;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            tmp=read();
            ans^=tmp^(-tmp);
        }
        if(ans==0) printf("Bob\n");
        else printf("Alice\n");
    }
    return 0;
}