欧拉函数

定义

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目$（\phi (1)=1）$。此函数以其首名研究者欧拉命名$(Eule{r}^{\prime }stotientfunction)$，它又称为$Eule{r}^{\prime }stotientfunction、\phi$函数、欧拉商数等。 例如$\phi (8)=4$，因为1,3,5,7均和8互质。——来自百度百科。

其实百度百科这次说的比较明白，就是1-n中与n互质的数的个数，我们用$\phi (n)$来表示。

性质

以下性质和定理不涉及证明。

1. 欧拉函数是积性函数。即：$\phi (nm)=\phi (n)\phi (m)$，其中$gcd(n,m)=1$。

2. 当n为奇数时，$\phi (2n)=\phi (n)$

3. 当n为质数时，$\phi (n)=n-1$

4. $\phi (1)=1$

5. 欧拉定理：对于互质的正整数$a$和$n$，有$a^{\phi }(n)\equiv 1modn$。因此此定理也用来求逆元。

6. 若$n=p^k$，则$\phi (n)=(p-1)\times p^{k-1}$

7. 设$n=p{1}^{k1}\times p{2}^{k2}\times ...\times p{m}^{km}$，则$\phi (n)=n\times (1-\frac{1}{p1})\times (1-\frac{1}{p2})...\times (1-\frac{1}{pm})$

求法

其实求法的话，在性质里面基本都提到了，所以只提供几种针对不同题目的求法。

1.筛法

对于题目中要用到好多的欧拉函数的问题，我们需要提前预处理出每一个数的欧拉函数，然后在$O(1)$时间内回答。

筛法主要是修改自线性素数筛，结合欧拉函数的性质就能筛出欧拉函数。

代码实现：

void phi() {
	for(int i=2; i<=n; i++) {
		if(!vis[i]) {
			prime[++top] = i;
			phi[i] = i-1;
		}
		for(int j=1; j<=top&&i*prime[j]<=n; j++) {
			vis[i*prime[j]] = 1;
			if(i%prime[j]==0) {
				phi[i*prime[j]] = prime[j]*phi[i];
				break;
			} else
				phi[i*prime[j]] = phi[i]*phi[prime[j]];
		}
	}
}

2.单个求

有的题目比较良心，只让你求一个数的欧拉函数，但是不太良心的是这个数特别大。所以我们考虑怎么求一个大数的欧拉函数。

首先，可以$O(\sqrt{(}n))$的时间内判断一个数是否为质数，由欧拉函数的性质我们就可以知道质数的欧拉函数就是本身减一。如果不是质数，那么我们就用欧拉函数的计算公式：性质7。

对于一个数，我们没必要把质数表打出来，只需要$O(\sqrt{(}n))$的时间内枚举质数就好，然后不断的$while$判断下去，期望的时间复杂度为$O(\sqrt{(}n)logn)$

代码实现

unsigned long long phi(unsigned long long x) {
	double ans = x;
	for(unsigned long long i=1; i<=top; i++) {
		if(x%prime[i])
			continue;
		while(x%prime[i]==0)
			x /= prime[i];
		ans = ans * (1-1.0/prime[i]);
	}
	return ans;
}

后记

欧拉函数还是比较重要的，在做题的时候如果发现找规律的话，就耐心的找一下。

不过最重要的还是要对数字敏感，体现在欧拉函数上就是，看到输入质数，输出减一的，应自然而然的联想到欧拉函数。