欧拉函数概念及其证明

欧拉函数概念

          1、互质

     质数：质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数。

          互质：如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，那么就称这两个数是互质关系！（注意，这里并没有说这两个数一定是质数或有一个为质      数。比如15跟4就是互质关系）

       这里要把质数和互质的概念弄清楚！！！

      2、欧拉函数

      首先明白欧拉函数是个函数！所以必须要有值输入，才有结果输出！

      现在我们基于互质关系这个概念提出一个问题：

           任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？           （比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）

           解：计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以              φ(n) = 4。

现在重点来了！我们如何将φ(n)具体化？就是找出这个还是逇具体公式，我们需要一步步来推算。

第一个命题：

                 若n=1，则φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。 

第二个命题：

                若n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

第三个命题：

                

               若n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则

                                             

                                          比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

             这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

             上面的式子还可以写成下面的形式：

                                   

                   可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。

第四个命题：

                   若n可以分解成两个互质的整数之积，n = p1 × p2，则φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

                      即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

                       这一条的证明要用到"中国剩余定理"，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果a与p1互质(a<p1)，b与p2互质(b<p2)，c与p1p2互质(c<p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。

第五个命题：

                        因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。
                                     

                        根据第四个命题的结论，得到
                                 

                          再根据第三个命题的结论，得到

                                

                         也就等于

                              

                            这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：