图论结合matlab的一些探索

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Matlab图论

• 基本概念：有向图，无向图，邻接矩阵，关联矩阵。

• 可达矩阵Matlab实现

  %计算图的可达矩阵
  function P = dgref(A)
  n = size(A, 1);
  P = A
  %计算矩阵Bn
  for i = 2:n
  	p = p + A - i;
  end
  
  P(P ~= 0) = 1;	%将不为0的元素变为1
  P
  

• 最短路问题

  • 通过权值矩阵进行计算

  • DIjkstra算法(边走边搜索)

    %两点间最短路的Dijkstra算法
    function [d, index1, index2] = Dijkf(a)
    % a 表示图的权值矩阵
    % d 表示所求最短路的权和
    % index1 表示标号顶点顺序
    % index2 表示标号顶点索引
    
    %参数初始化
    M = max(max(a));
    pb(1:length(a)) = 0;
    pb(1) = 1;
    index1 = 1;
    index2 = ones(1, length(a));
    d(l:length(a)) = M: d(1) = 0: temp = 1
    %更新l(v),同时记录顶点顺序和顶点索引
    
    while sum(pb) < length(a)	%重复步骤2，直到满足条件
    	tb = find(pb == 0);
    	d(tb) = min(d(tb), d(temp) + a(temo, tb));	%更新l(v)
    	tmpb = find(d(tb) == min(d(tb)));
    	temp = tb(tmpb(l));
    	pb(temp) = l;
    	index1 = [index, temp];		%记录标号顺序
    	index = index1(find(d(index1) == d(temp) - a(temp, index1)));
    	if length(index) >= 2
    		index = index(1);
    	end
    	index2(temp) = index;		%记录标号索引
    end
    d
    index1
    index2
    

  • Warshall-Floyd算法

    function [P u] = f_path(W)
    % W 表示权值矩阵
    % P 表示最短路
    % u 表示最短路的权和
    
    %初始化，步骤1
    n = length(W);
    V = W;
    m =1;
    %步骤2
    while m <= n
    	for i = 1:n
    		for j = 1:n
    			if V(i, j) > V(i, m) + V(m, j)
    				V(i, j) = V(i, m) + V(m, j);
    			end
    		end
    	end
    	m = m + 1;
    end
    u = V(1,n);
    %输出最短路的顶点
    p1 = zeros(1,n);
    k = 1;
    p1(k) = n;
    U = ones(1, n) * inf;
    kk = n;
    while kk ~= 1
    	for i = 1:n
    		U(1, i) = V(1, kk) - W(i, kk);
    		if U(1,i) = V(1, i)
    			p1(K + 1) = i;
    			kk = i;
    			k = k + 1;
    		end
    	end
    end
    k = 1;
    wrow = find(p1 ~= 0);
    for j = length(wrow):(-1):1
    	p(k) = p1(wrow(j));
    	k = k + 1;
    end
    P	
    

  • 判断图的连通性

  • 树：

    • 基本概念：割点，割边，割集，有序二元树(有方向)，Huffman树(带权重)。
    • 最小生成树的Kruskal算法步骤
      • 选择边使得权重最大；
      • 根据已选择的边选择下一个边，使得边与边不成环以及权值最大
      • 重复操作
    • 最小生成树的Prim算法步骤
      • 选择一个点作为顶点；
      • 选择与前一个点连着的边，使得边与边不成环以及权值最大
      • 重复操作

  • Euler图(平面最优环游)和Hamilton图(立体最优环游)

    • Fleury算法步骤(邮递员问题)
      • 建立一个值为$v_0$的集合$W_0$，其中$v_0$属于$V(E)$；
      • 设$W_i$已经选定，从$E-${$e_1,...,e_i$}中选一条边$e_{i+1}$，其中
        • $e_{i+1}$与$e_i$相邻；
        • 除非无法选择，否则$e_{i+1}$不是$G-${$e_1,...,e_i$}中的边
      • 直到步骤二不能进行为止。
    • 改良图算法(旅行售货员问题)P96

  • 匹配问题

    • 基本概念：匹配，完美匹配，最大匹配；
    • 较大基数匹配算法；
    • 匈牙利算法(人员分配问题)；
    • Kuhn-Munkres算法(最优分配算法)；

  • 网络流问题

    • 最大流问题
      • 最大流最小割定理：流最大时，路不可增，因此分割最小。
      • Ford-Fulkerson标号算法P119
      • Dinic算法P122

• 最小费用流问题

  • Busacker-Gowan算法

• 图的染色

  • 顶点染色算法
  • 边染色算法
  • 全染色算法
  • 均匀全染色算法
  • 邻点可区分全染色算法