ACM ICPC 2013–2014, NEERC, Northern Subregional Contest

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#ACM，动态规划，树状数组

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树状数组

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本文解析了Codeforces上两道竞赛题目，包括F.FlightBoardingOptimization和K-KidsinaFriendlyClass，详细介绍了使用树状数组和动态规划解决第一题的方法，以及利用Havel-Hakimi定理解决第二题的策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

补下 F H K 吧。
题目连接：https://codeforces.com/gym/100269

F. Flight Boarding Optimization

题意： 给你一个序列，要求把他按数字的大小分成 k 块，比如数字大小1~ 4为一块，5~12为一块，每块在原序列的顺序对（ i<j && a[i]<a[j] ）的数量相加最小。

题解 : 我们可以用树状数组预处理出每个区间，他所能构成的顺序对数量。再用动态规划求解。

dp[i][j]定义为在数字大小为 i 时切了 j 块

转移方程为：dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[q][j - 1] + num[q+1][i])（q从1到 i，num是区间的顺序对，从切了j-1转移过来）

AC代码：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <string>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <queue>
#include<stack>
#include <map>
#include <set>
#include<fstream>
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
typedef  long long ll;
const int N = 1e3 + 5;
int a[N],c[N],num[N][N],dp[N][55];
vector<int>V[N];
int n, s, k;
void add(int i)
{
	while (i <= n) {
		c[i] ++;
		i += lowbit(i);
	}
}
int sum(int i)
{
	int ans = 0;
	while (i > 0) {
		ans += c[i];
		i -= lowbit(i);
	}
	return ans;
}
int main()
{
	freopen("flight.in", "r", stdin);
	freopen("flight.out", "w", stdout);
	memset(num, 0, sizeof(num));
	scanf("%d%d%d",&n,&s,&k);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
		V[a[i]].push_back(i);
	}
	for (int i = 1; i <= s; i++) {//树状数组预处理好每个区间的顺序对数量
		memset(c,0,sizeof(c));
		for (int j = i; j <= s; j++) {
			num[i][j] = num[i][j - 1];
			for (int k = 0; k < V[j].size(); k++) {
				num[i][j] += sum(V[j][k]);
			}
			for (int k = 0; k < V[j].size(); k++) {
				add(V[j][k]);
			}
		}
	}
	memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
	for (int i = 1; i <= s; i++)//初始化dp，切一次便是从1到 i 的顺序对了
		dp[i][1] = num[1][i];
	for (int i = 1; i <=s; i++) {
		for (int j = 2; j <k; j++) {
			for (int q =1; q <=i; q++) {
				dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[q][j - 1] + num[q+1][i]);//转移方程
			}
		}
	}
	int ans =num[1][s];// k可能等于0，所以ans赋值为k等于0的情况，而且切越多会越小，所以也是最大值。
	for (int i = 1; i < s; i++) {//找切了k-1，也就是k块，再加上剩下的一块。
		ans = min(ans, dp[i][k - 1] + num[i+1][s]);
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

K - Kids in a Friendly Class

题意： 每个女生认识a个女生，b个男生，每个男生认识c个女生，d个男生，认识的人连边，问男生女生最少为多少，构成的图输出。

题解： 设女生有x人，男生有y人，可以得y=bx/c。所以x从c，y从b开始（题意至少得有这么多人)。bx=cy，所以b*(x+c/gcd(b,c))=c(y+b/gcd(b,c)）,所以x，y每次加上对应得数后，看是否满足y>d && x>a &&!((x & 1) && (a & 1) || (y & 1) && (d & 1))（我们知道，每个点度数相加后%2=0，这些点才能连成一个图）
现在就是把图输出了，这时候就用到 Havel-Hakimi 定理，简单得说就是，度数先从大到小排序，度数最大（du）的点取出，与接下来的du个点连边，du这个点就不再用了，连边的点度数减一，若出现度数为负，则不能构成一个图。实现时可以变化一下，用优先队列维护度数最大，每次用度数最大与次大连边，次大减一放回队列，再取出次大，这样就行了。

AC代码：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <string>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <queue>
#include<stack>
#include <map>
#include <set>
#include<fstream>
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
typedef  long long ll;
const int N = 1e6 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int a, b, c, d;
int gcd(int a, int b)
{
	return b ? gcd(b, a%b) : a;
}
void solve(int n, int m)
{
	priority_queue<pair<int, int> >girl;
	priority_queue<pair<int, int> >boy;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		girl.push(make_pair(a, i));
	while (!girl.empty())
	{
		pair<int, int> now = girl.top();
		girl.pop();
		for (int i = 0; i < now.first; i++)
		{
			pair<int, int> next = girl.top();
			girl.pop();
			printf("%d %d\n", now.second, next.second);
			next.first--;
			girl.push(next);
		}
	}
	for (int i = n + 1; i <= n + m; i++)
		boy.push(make_pair(d, i));
	while (!boy.empty())
	{
		pair<int, int> now = boy.top();
		boy.pop();
		for (int i = 0; i < now.first; i++)
		{
			pair<int, int> next = boy.top();
			boy.pop();
			printf("%d %d\n", now.second, next.second);
			next.first--;
			boy.push(next);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		girl.push(make_pair(b, i));
	for (int i = n + 1; i <= m + n; i++)
		boy.push(make_pair(c, i));
	while (!girl.empty())
	{
		pair<int, int> now = girl.top();
		girl.pop();
		for (int i = 0; i < now.first; i++)
		{
			pair<int, int> next = boy.top();
			boy.pop();
			printf("%d %d\n", now.second, next.second);
			next.first--;
			if (next.first != 0)boy.push(next);
		}
	}
}
int main()
{
	freopen("kids.in", "r", stdin);
	freopen("kids.out", "w", stdout);
	scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d);
	int g = gcd(b, c);
	int dx = c / g, dy = b / g;
	int x,y;
	for (y = b, x = c; ; y += dy, x+=dx) {
		if(y>d && x>a &&!((x & 1) && (a & 1) || (y & 1) && (d & 1)))
			break;
	}
	printf("%d %d\n",x,y);
	solve(x,y);
}

H 待补