`算法知识` 组合数算法

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组合数算法

求组合数的两个公式

$$定义式:C_a^b=\frac{A_a^b}{b!}$$

$$递推式:C_a^b=C_{a-1}^{b-1}+C_{a-1}^b$$

$$等价式:C_a^b=C_a^{a-b}$$

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必须满足: a >= b >= 0, 对于非法值 规定为0, 最好对于会产生非法值的情况, 特殊处理!

比如: C[3][3] = C[2][2] + C[2][3], 其中C[2][3]是非法值, 规定为0

比如: C[3][0] = C[2][-1] + C[2][0], 其中C[2][-1]是非法值, 规定为0

对于C[0][0]应该是多少呢? 他不是非法值;
由C[1][1] = C[0][0] + C[0][1] = 1, 由于C[0][1]是非法值 为0
故: C[0][0] = 1

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定义式

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若不在取模意义下

get_C( int _a, int _b){
    _b = min( _b, _a - b);
    
    ans = 1;
    
    for( i = 1; i <= _b; ++i){
        ans *= ( _a - _b + i);
        ans /= i;
    }
    
    return ans;
}

1. 由于for循环次数, 取决于b的值, 故先让其取最小值
2. 计算: (a * (a-1) * (a-2) * ... * (a-b+1)) / (b * (b-1) * ... * 1) 如果先计算a / b, 这可能不是整除; 而我们知道, 其结果一定是整数; 故, 要从右侧开始, 这是可以整除的. 比如, 此时分母是i, 则分子是连续的i个数; 而连续的i个数里, 一定有i`的倍数

$$时间复杂度:O(b)$$

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若在取模意义下

TODO

递推式

可用于 取模 或 不取模的情况均可.

通常适用在预处理数组的情景下, 即通过递推式来统一预处理数组, 然后就可以O(1)的查询结果

C[ N + 2][ M + 2];

init_C(){
    for( i = 0; i <= N; ++i){
        C[ i][ 0] = 1;
        C[ i][ i] = 1;
        
        for( int j = 1; j < i; ++j){
            C[ i][ j] = C[ i - 1][ j - 1] + C[ i - 1][ j];
            C[ i][ j] %= Mod_;   //< 如果需要取模
        }
    }
}

对于[i][0] 和 [i][i], 必须要特殊处理, 对于会产生非法值的情况 要特殊处理:

1. [i][0]的递推式中[i - 1][ -1]是非法值
2. [i][i]的递推式中[i - 1][i]是非法值

$$时间复杂度:O(n\ast m),且O(1)查询$$

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例题分析

A = 1e6, B = 50, 我们会频繁的访问: C[ x + y][ x], 且x <= A, y <= B

乍一看, C[a][b], 两者都是A = 1e6的量级, 看似是无法预处理的

但是, C[ x + y][ x] = C[ x + y][ y], 即C[ 1e6][ 50]的量级!

等价式转换在这里非常重要; 因此, 该问题是可以用预处理数组方式的!

$$时间复杂度:O(1e6\ast 50)$$