`算法题解` `AcWing` 4605. 最大周长_求出以这n个点为顶点的简单多边形的最大周长。-优快云博客

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该博客主要解析AcWing上4605题的解题思路，涉及凸多边形、曼哈顿距离和外接矩形等概念。题目要求求解给定凸多边形的最大曼哈顿周长，博主指出错误思路，并详细解释了正确解题方法，强调在解决此类问题时不能仅凭直觉，需要严谨的数学证明。

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题目链接

相同的题

题解

前提知识: 多边形,凸多边形

前提知识: 笛卡尔坐标系, 边长与边权, 曼哈顿距离, 欧几里得距离,外接矩形

注意, 题中图里的第三个图形, 他是多边形!!! ; 因为他的边是直的,
但是, 此时他已远不止4个点, 而我们要求的是: 根据4个顶点, 得到一个4边形; 这样画法是个> 4边形;
其实这样的画法还有一个名字: 曼哈顿度量的多边形; 即两点间的距离, 用若干条垂直/水平的线段代替;
… 虽然, 这种画法的4边形是非法的; (但是… 这是本题一个故意迷惑人的一点…
… … 虽然这样画法的4边形是错误的, 即, 你在本题遇到两点距离肯定不会转换为这种画法(即曼哈顿度量)
… … 但是, 本题的解法, 必须要借助(曼哈顿度量), 即, 确实要转换为 (这种错误画法的 4边形)…

本题的边长不是(欧几里得距离), 是(曼哈顿距离)…
这好像感觉是挺(奇怪矛盾)的…
这个多边形是在笛卡尔坐标系里, 他的每个边在(坐标系)的长度, 肯定是(欧几里得距离);
但是, 我们硬生生的把这个(欧几里得距离), 去改变它规定它的距离是 (曼哈顿距离)…

如果题中说, 它的(边权) 是曼哈顿距离, 这样比较容易理解;
因为在该题中, 边长与边权, 确实是不同的两个概念, 因为比如任意两点(1,1) (2,2), 则它的边长 (在直角坐标系的长度) 就是 $\sqrt{2}$
它的边权是 (曼哈顿距离) $1 + 1 = 2$ , 这没有问题;

但本题非要说: 两点的边长distance 是 (曼哈顿距离); 也就是(边长为 $2$ );
那么, 你要想让这个边长在坐标系里的长度, 确实是 $2$ , 那么, 这两个(1,1) (2,2) 就肯定不在这个位置了…

但是, 它非要说是(边长)… 也没办法, 但我们最好还是区分开:
边长是固定的它根据端点的坐标确定, 边权是可以自定义的, 本题的周长其实是说的(边权)的周长

给定N个点的 (凸多边形), 其顺/逆时针方向的线性序列为: V0, V1, V2, ...

令Gi为在该N凸边形的基础上, 任意的去掉N - i个点后的线性序列所表示 i凸边形
根据去除若干点, 仍为凸多边形, 可以知道, 该多边形也是凸边形;

令两点间的边权为: 曼哈顿距离, 令多边形的周长为: 所有边权之和
则, 求G3, G4, ..., GN这些凸多边形的 最大的 曼哈顿周长Pi; N = 1e7, G是 Polygon P为Perimeter

凸多边形的曼哈顿周长, 等于: 其外接矩形的欧几里得周长;
因此, 以下我们研究某个凸多边形的曼哈顿周长, 都是转换为: 研究其外接矩形的欧几里得周长;

对于GN的周长PN, 我们知道, 其等于外接矩形的周长;
令GN的外接矩形的临界点Vl, Vu, Vr, Vd, 我们知道, 这4个点就可以完全确定外接矩形; (这4个点, 很容易求出)
此时, PN = 外接矩形的周长 = 2 * (Vr.x - Vl.x) + 2 * (Vu.y - Vd.y)

对于G(N-1)的周长P(N-1), 我们可以去掉非Vl, Vu, Vr, Vd临界点的其他任意点后, 此时的G(N-1)
它的外接矩形, 仍然是Vl, Vu, Vr, Vd, 即其P(N-1) = PN

因此, 对于P4, P5, ..., PN 其答案, 均为PN

但是关键是P3;

我们知道, 这4个临界点, 是针对(外接矩形)而言的, 因为矩形有4条边, 所以对应4个临界点;
而, 临界点可能会重合, 比如, Vl 和 Vu都在外接矩形的左上角; 即, 一个多边形上的点, 对应2个临界点 (不会对应>=3, 因为外接矩形面积> 0)
但是, 临界点它的本质又是指的是(多边形的点), 因为临界点一定是 (多边形的点), 不是 ( 外接矩形的顶点)

即, 对Vl, Vu, Vr, VD进行 (去重处理)后, 其点数是{2 或 3 或 4}

假如去重后的点数是2 或 3, 则对于G3, 它的三个顶点就选择到这些去重后的临界点, 即, 其外接矩阵M 与 PN的一样
即, 此时P3 == PN

但是, 如果去重后的点数是4 (即, 4个临界点都在外接矩形M 的四条边上, 不在顶点处),
此时, 由于G3只有3个点, 无法选择这4个点, 因此, G3的外接矩形一定小于 GN的外接矩形M (周长面积都小于)

但是, 我们可能很容易会认为: G3的三个端点, 一定是通过选择这4个临界点中的任意3个, 可以实现;
… 不要理想当然…, 需要证明呀!

在这里插入图片描述
假设N凸多边形, 其外接矩形由4个不同的点确定, 且外接矩形是个正方形; (假设正方形边长为2)

对于任意一个Gi (i >= 4)凸多边形, 其只要选择了Vl, Vu, Vr, Vd这4个临界点, 则该凸多边形的曼哈顿周长, 一定为 (绿色外接矩形的周长), 这是最大的;
而对于G3凸多边形(即三角形), 它的三个点, 如果从这4个临界点中选择3个, 则其该G3的外接矩形, 一定是2 + 2 + 1 + 1 = 6

但是, 如果我们选择Vl, Vu, Va (Va不是临界点), 可以看出, 它的外接矩形(橙色), 是大于6的

因此, 一定不要(理想当然)…

对于G3的情况, 确实要单独的分析;
上图中, 答案是: 两个点是临界点, 另外一个点是(其他点)
那么我们就尝试证明: G3的答案, 其端点中至少含有2个临界点;