学习欧拉法/龙格-库塔法心得

泰勒公式

若 f(x) 在 x = 0 点直到 n + 1 阶连续导数，则


称为 f(x) 在 x = 0 点关于 x 的幂函数展开式，又称为 Taylor 公式，式中Rn（x）叫做 Lagrange 余项。

欧拉方法

考虑一阶常微分方程的初值问题

前向欧拉公式：

跟泰勒展开相比，是只取前两项，舍去高次项，f(xn,yn) 表示 f 在 (xn,yn) 处的一阶导数,所以yn估计的误差是h2的无穷小。

还有后向欧拉算法、梯形公式、改进的欧拉算法，后向欧拉算法和梯形公式是隐式算法，前向欧拉算法和改进的欧拉算法是显式算法。欧拉算法计算容易，但是精度低，梯形公式精度高，但是是隐式形式，不易求解。将两式结合，则可以得到改进的欧拉公式。先用欧拉公式求出yn+1的一个粗糙的估计值，再用梯形方法进行精确化，称为校正值。

因为龙格-库塔算法是从前向欧拉算法中推出来的，所以不详细说明了。

龙格-库塔算法

在欧拉方法的基础上，改进其精度，考虑在yn和yn+1之间架个桥，先按照欧拉方法算一下到终点要在原来的yn上累加的近似值：

于是中间那个点的坐标值可以大概估计一下为

在这个点的导数为

　　以中间值的导数为为跳板，根据欧拉方法，从起点yn到达终点yn+1需要在中点累加的值：
　　
　　即
　　
　　这种方法通过逐阶逐阶迭代消除了误差项，因此在二阶R-K时误差已经是 hh 的三阶无穷小了。
　　
　　那么经典的4阶定长R-K算法也差不多，同理，先计算起点到终点的需要累加的近似值，然后获取近似中点1位置坐标，求该点导数，以这个导数为跳板，再次计算起点到终点的需要累加的近似值，接着再求这个近似值的近似中点2的坐标，求导数，最后以这个导数为跳板，计算从起点到终点的近似累加值。最后得到估计的yn+1。
　　
　　以上 k1、k2、k3、k4都是从起点ynyn到达终点yn+1需要在中点累加的值的估计，因此对 k1、k2、k3、k4加权平均，得到（由于在此是为了使用，仅获得基本的理解，因此没有详细的推导最后加权是如何计算出来的了）：
疑问一：为什么第一点和第二点的横坐标相同？希望我编完程就懂了。

参考：

1. https://blog.youkuaiyun.com/qq_29080067/article/details/80157857
2. https://blog.youkuaiyun.com/susanliuliu28/article/details/78804759
3. https://wenku.baidu.com/view/bc71a037bf1e650e52ea551810a6f524ccbfcbba.html