有限体积法（6）——离散格式的特性

最新推荐文章于 2024-09-04 21:14:23 发布

薛定谔的alpha狗

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分类专栏： CFD 文章标签： CFD 计算流体力学

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为了能够在有限网格数下得到符合物理现实的数值解，就需要离散格式满足某些特性。最重要的几个有：守恒性、有界性和输运性。

守恒性

守恒来自很自然的物理规律，比如一个无内源的流体域，无论它有几个入口和几个出口，流入的流体总质量和流出的流体总质量必然是相等的，这就是质量守恒。从输运方程的观点来看，就是流入一个控制体的输运量 $\phi$ 的总和必然等于流出的总和。
根据高斯公式，对流扩散方程在控制体单元内的积分可转化为边界上的面积分，得到第一步的离散方程，如
$F_e \phi_e- F_w\phi_w=\left( \Gamma \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_e - \left( \Gamma \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_w\tag{1}$
上式中的各项就代表经过控制体网格单元各界面处的通量，包括对流通量和扩散通量。无论是 $\phi$ 的扩散通量还是对流通量，都要保证在整个计算域的守恒，这就要求离散格式满足守恒性。
离散格式的守恒性指的是在网格单元边界面上的连续性，具体的说就是在两个网格单元的公共边界面上，输运量 $\phi$ 的流动在离开前一个控制体单元界面的流出通量等于通过该界面进入下一个控制体单元的流入通量。这可以理解为一个拼接的管道，如下图，管道接缝处的截面就相当于是控制体单元的公共界面，那么无论你从上游还是下游管段来看，一个公共界面上的通量必然是一样的。
在这里插入图片描述
例如对于一维稳态无源扩散问题，进出计算域边界的通量用 $q_A$ 和 $q_B$ 表示。如下图，我们4个控制体单元的网格，使用中心差分来近似计算界面处的扩散通量。以节点2为例，其左边界面处的扩散通量用 $\Gamma_{w2} (\phi_2-\phi_1) / \delta x$ 来表示，同理右边的用 $\Gamma_{e2} (\phi_3-\phi_2) / \delta x$ 表示。
在这里插入图片描述
将包括边界在内的各界面通量相加就可以得到整个计算域的通量平衡式，
$\begin{aligned} &\left [ \Gamma_{e1}\frac{\phi_2-\phi_1}{\delta x}-q_A \right] + \left [ \Gamma_{e2}\frac{\phi_3-\phi_2}{\delta x}-\Gamma_{w2}\frac{\phi_2-\phi_1}{\delta x} \right] \\ \\ & \qquad + \left [ \Gamma_{e3}\frac{\phi_4-\phi_3}{\delta x}-\Gamma_{w3}\frac{\phi_3-\phi_2}{\delta x} \right] + \left [ q_B-\Gamma_{w4}\frac{\phi_4-\phi_3}{\delta x} \right] \\ \\ &\qquad = q_B -q_A \tag{2} \end{aligned}$

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