无迹卡尔曼滤波器（UKF）在MATLAB中的应用实践

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于 2024-11-30 15:52:02 发布

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简介：无迹卡尔曼滤波器（UKF）是一种处理非线性系统状态估计的算法，利用无迹变换处理非线性问题，通过选取和传播一组代表性的采样点（sigma点）来避免线性化误差。本教程详细介绍如何在MATLAB中实现UKF，包括系统模型定义、sigma点选择、状态传播、均值和协方差预测、观测处理以及最终状态估计的更新。提供 ukf.m 和 license.txt 文件，前者包含UKF算法的MATLAB实现，后者包含代码使用的许可信息。UKF广泛应用于导航、机器人定位、目标跟踪等领域，通过MATLAB仿真可以直观理解UKF原理并优化算法。技术专有名词：UKF (Unscented Kalman Filter)

1. UKF（无迹卡尔曼滤波器）基本概念

1.1 UKF的历史和理论背景

无迹卡尔曼滤波器（Unscented Kalman Filter，UKF）是滤波理论中的一个里程碑，它在20世纪90年代由S.J. Julier和J.K. Uhlmann提出，旨在解决传统卡尔曼滤波器（Kalman Filter，KF）在处理非线性系统时的局限性。UKF利用无迹变换（Unscented Transform，UT）方法，通过一组精心选择的采样点（Sigma点）来近似非线性函数的统计特性，从而避免了线性化过程中可能引入的误差，提高了状态估计的精度。

1.2 UKF与传统卡尔曼滤波器的比较

与传统KF相比，UKF不依赖于泰勒级数展开对非线性系统进行线性化处理，因此能够更准确地处理高度非线性的系统。KF在系统方程和观测方程为非线性时，线性化误差可能会导致滤波结果偏差较大。而UKF通过Sigma点传播和权重计算，能够更精确地估计出系统的均值和协方差，从而提供更稳健的估计结果。这使得UKF在航天、机器人导航、信号处理等领域的应用更加广泛和有效。

2. 无迹变换（Unscented Transform）原理

2.1 UT的数学基础

2.1.1 UT的基本思想

无迹变换（Unscented Transform，UT）是一种用于估计随机变量通过非线性函数变换后的统计特性的方法。其基本思想是通过选择一组确定性的采样点（称为sigma点），这些采样点能够以最小的计算量捕获原始随机变量的均值和协方差信息。然后将这些采样点通过非线性变换，再通过这些变换后点的加权求和来估计变换后变量的统计特性。

UT不需要对非线性函数进行泰勒展开或者其它近似处理，从而避免了线性化过程中常见的误差积累问题。这一点尤其在处理强非线性系统时显得尤为重要。

2.1.2 UT的主要数学公式和计算步骤

UT的计算过程可以概括为以下步骤： 1. 确定Sigma点 ：根据原始随机变量的均值（μ）和协方差（P），选取一组具有特定权重的sigma点。对于具有n个维度的变量，需要选取2n+1个sigma点。 2. 变换Sigma点 ：将每个sigma点通过非线性函数f(x)进行变换，得到变换后的sigma点集合。 3. 估计统计特性 ：利用变换后的sigma点集合，通过特定的加权计算，估计变换后随机变量的均值和协方差。

具体数学公式如下： - 原始变量的均值和协方差分别为μ和P。 - 计算权重ω^m和ω^c。 - 使用公式计算sigma点：( \chi^m_{0} = \mu, \chi^m_{i} = \mu + (\sqrt{(n+\kappa)P}) i ) (i = 1, ..., n)，以及 ( \chi^m {i+n} = \mu - (\sqrt{(n+\kappa)P}) i ) (i = 1, ..., n)。 - 计算变换后的sigma点：( \gamma^m {i} = f(\chi^m_{i}) )，( i = 0, ..., 2n )。 - 估计变换后变量的均值和协方差：( \hat{\mu} = \sum_{i=0}^{2n} \omega^m_{i} \gamma^m_{i} )，( \hat{P} = \sum_{i=0}^{2n} \omega^c_{i} (\gamma^m_{i} - \hat{\mu})(\gamma^m_{i} - \hat{\mu})^T + Q )。

在上述公式中，( (\sqrt{(n+\kappa)P})_i ) 表示矩阵 ( (n+\kappa)P ) 的第i个平方根矩阵的列向量，Q是过程噪声协方差矩阵。

2.2 无迹变换的优势

2.2.1 对传统线性化方法的改进

传统的卡尔曼滤波器在处理非线性问题时，通常会采用线性化的方法，如一阶或二阶泰勒展开近似。然而，这些线性化技术在系统具有强烈非线性特性时，容易引入显著的误差。

UT通过对一组精心选取的sigma点进行非线性变换，然后重新组合这些点以计算输出变量的均值和协方差，从而有效避免了线性化的缺点。这种方法不需要假设函数的线性或弱非线性特性，因此在处理强非线性系统时表现更加准确和鲁棒。

2.2.2 处理非线性系统的能力分析

UT在处理非线性系统时的能力可以从以下几个方面进行分析：

准确性 ：UT能够更准确地模拟非线性变换的统计特性，特别是在变换过程中概率密度函数的形状变化较大的情况。
鲁棒性 ：对于系统模型或测量噪声统计特性的变化，UT具有较强的适应性，不会因为非线性特性的剧烈变化而显著影响滤波性能。
计算效率 ：虽然UT需要计算和传播2n+1个sigma点，其计算量较线性卡尔曼滤波器有所增加，但对于现代计算机而言，这种计算开销是可接受的，尤其是当系统复杂度增加时。

此外，UT不需要进行高阶导数的计算，避免了求解导数可能出现的数值困难和计算误差，进一步增强了其在复杂非线性系统中的应用能力。

3. sigma点的选取和传播

3.1 Sigma点选取的策略

3.1.1 Sigma点的定义和特性

Sigma点是无迹卡尔曼滤波器（UKF）中的一个关键概念，它们是一组经过特别选择的点，这些点代表了随机变量的概率分布。Sigma点的数目通常大于或等于状态变量的维度，以便能够捕捉到状态变量的概率分布形状，特别是均值和协方差。在UKF中，Sigma点的选取必须遵循两个基本原则：一是要确保这些点在经过非线性变换后，能够近似地得到变换后随机变量的均值和协方差；二是通过加权重采样过程，能够保证这些点可以准确地反映出原始随机变量的统计特性。

3.1.2 不同选取策略的比较和适用场景

选取Sigma点的方法有很多，最常用的一种是基于确定性采样的方法，比如Sigma点卡曼滤波器（SPKF）。该方法通过选择一组特定的Sigma点，配合相应的权重，来确保这些点能够准确地代表状态向量的概率分布。另一种方法是基于随机采样的，如蒙特卡罗方法。在实际应用中，需要根据具体的非线性系统特点和应用场景来选择最合适的Sigma点选取策略。

表格：不同Sigma点选取策略对比

| 策略类型 | 描述 | 优点 | 缺点 | 适用场景 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 确定性采样 | Sigma点和权重是确定性计算得到 | 计算效率较高，适合于计算资源有限的场合 | 可能无法完全捕捉到高维概率分布的复杂性 | 中低维度非线性系统 | | 随机采样 | Sigma点是随机生成的，权重也是随机分配的 | 能够更好地捕捉高维概率分布的复杂性 | 需要较高的计算资源 | 高维度系统，对精度要求极高的场合 |

3.2 Sigma点在非线性系统中的传播

3.2.1 传播过程中对非线性的捕捉

在UKF中，Sigma点的传播是通过非线性函数对每个Sigma点进行变换来完成的。这一过程必须精确，因为Sigma点的变换结果直接影响了状态估计的准确性。为了捕捉非线性，Sigma点在传播过程中会经过非线性函数的映射，得到变换后的Sigma点集合。通过将这些变换后的Sigma点重新组合，并加权平均，可以得到非线性变换后的均值和协方差的估计。

3.2.2 Sigma点的加权和重采样的重要性

在传播之后，Sigma点需要经过加权和重采样的步骤来得到状态的估计。权重的分配对于维持概率分布的准确性至关重要。每个Sigma点的权重是根据其在状态估计中的重要性来分配的，这些权重通常在滤波的初始化阶段就已确定，并在每次迭代中根据滤波器的性能进行调整。重采样是UKF中的一个重要环节，它有助于在状态估计过程中减少估计误差，提高滤波器的稳定性和准确性。

Mermaid流程图：Sigma点传播和加权重采样过程

graph LR
    A[初始化Sigma点和权重] --> B[通过非线性函数传播Sigma点]
    B --> C[计算变换后的均值和协方差]
    C --> D[进行加权重采样以更新Sigma点]
    D --> E[得到更新后的状态估计]

代码块：Sigma点的传播和加权重采样示例（伪代码）

# 定义Sigma点传播函数
def sigma_point_propagation(sigma_points, weights, non-linear_function):
    propagated_sigma_points = []
    for sigma_point in sigma_points:
        propagated_sigma_point = non-linear_function(sigma_point)
        propagated_sigma_points.append(propagated_sigma_point)
    return propagated_sigma_points

# 定义加权重采样函数
def weighted_resampling(propagated_sigma_points, weights):
    updated_sigma_points = []
    for weight in weights:
        selected_sigma_point = select_sigma_point_based_on_weight(propagated_sigma_points, weight)
        updated_sigma_points.append(selected_sigma_point)
    return updated_sigma_points

# 示例使用
initial_sigma_points, initial_weights = initialize_sigma_points_and_weights()
nonlinear_function = define_nonlinear_transformation()
propagated_sigma_points = sigma_point_propagation(initial_sigma_points, initial_weights, nonlinear_function)
updated_sigma_points = weighted_resampling(propagated_sigma_points, initial_weights)

在上述代码中， sigma_point_propagation 函数执行了非线性变换传播Sigma点的任务，而 weighted_resampling 函数则根据Sigma点的权重来重采样，获取新的Sigma点集合。需要注意的是，实际应用中还需要定义 select_sigma_point_based_on_weight 函数来根据权重选择Sigma点，并考虑如何将这些点转换回状态估计。此外，示例中省略了初始化、非线性变换定义等步骤的实现细节。

通过这种方法，UKF能够有效地处理非线性系统中的状态估计问题，并利用Sigma点的传播和加权重采样过程来提升状态估计的准确性和稳定性。

4. 非线性系统状态估计的均值和协方差预测

在处理非线性系统时，均值和协方差预测是UKF算法中至关重要的步骤。这一环节的精确性直接影响到整个状态估计过程的有效性和准确性。本章将详细探讨均值和协方差预测的具体计算方法，以及在预测过程中可能出现的误差分析，并确保理解每一步骤的重要性。

4.1 预测均值的计算方法

4.1.1 利用Sigma点进行均值估计

Sigma点是UKF算法的核心概念之一，用于非线性函数的近似。在UKF中，一组经过特定方式挑选的Sigma点代表系统的概率分布。这些点通过非线性函数传播后，可以用来估计系统状态的均值。

为有效进行均值估计，我们首先需要选取一组Sigma点。Sigma点的选取策略依赖于系统状态的先验分布信息，通常，这涉及到计算状态的均值和协方差。根据这些信息，我们可以定义一组Sigma点，使它们能够覆盖状态空间的重要特征。

例如，对于一个具有N维状态变量的系统，我们选择2N+1个Sigma点，这些点的选取需要满足以下条件：

第一个Sigma点是均值向量。
剩余的2N个Sigma点是均值向量加上权重不同的协方差矩阵平方根的乘积。

数学上，可以表示为：

graph TD
    A[输入均值μ和协方差P] --> B[计算Cholesky分解]
    B --> C[得到L矩阵]
    C --> D[生成Sigma点]
    D --> E[应用非线性函数f]
    E --> F[得到预测的均值和协方差]

其中， L 是协方差矩阵 P 的Cholesky分解， X 是初始状态的Sigma点， X' 是传播后的Sigma点。

4.1.2 预测均值的误差分析

尽管Sigma点技术提供了一种有效近似非线性系统状态的方法，但其预测均值仍可能受到多种因素的影响，从而导致误差。主要的误差来源包括：

Sigma点数目不足：当Sigma点的数量不能很好地反映系统非线性特性时，会导致均值估计不准确。
非线性函数的近似精度：由于使用Sigma点进行近似，所以函数的非线性程度直接影响到近似误差。
模型不确定性：系统模型的不准确或不确定性也会导致预测误差。

针对这些问题，实践中通常需要调整Sigma点的权重参数、选择更适合的非线性函数近似方法，或者改进系统模型本身。

4.2 协方差预测的原理和步骤

4.2.1 协方差的传播机制

在UKF中，状态协方差的预测不仅仅考虑了均值的传播，还考虑了Sigma点的传播对协方差的影响。状态协方差的预测可以看作是在状态空间中预测点的方差，并对其重新加权的过程。

协方差预测的步骤通常如下：

使用上一步得到的Sigma点，通过非线性状态方程进行传播。
通过传播后的Sigma点计算预测状态的均值。
计算每个Sigma点相对于预测均值的偏差。
根据这些偏差和Sigma点的权重，计算预测状态的协方差。

协方差预测的关键在于，它利用了Sigma点的传播信息，而不是仅仅依赖于均值的传播，这一点在处理高维或非线性较强的系统时尤为重要。

4.2.2 预测协方差的稳定性和准确性分析

由于UKF使用Sigma点来捕捉概率分布的特性，预测协方差的准确性在很大程度上依赖于Sigma点的选取和传播。在保证Sigma点选取策略适当的情况下，还需要关注预测协方差的稳定性。

对于协方差的稳定性，常见的问题可能包括：

数值稳定问题：在计算过程中可能会遇到数值误差累积，特别是在协方差矩阵更新时。
高斯噪声假设：UKF假设过程噪声和观测噪声都是高斯分布的，如果实际情况与之不符，将影响协方差的准确性。

为保证协方差预测的稳定性和准确性，可以采取措施包括使用数值稳定的算法进行矩阵运算，对噪声模型进行适当处理，或者引入鲁棒性更强的算法进行优化。

5. 观测数据处理和状态估计更新

5.1 观测数据与状态估计的融合方法

5.1.1 卡尔曼增益的计算

在卡尔曼滤波算法中，卡尔曼增益（Kalman Gain）是连接预测状态和观测数据的关键桥梁。增益决定了观测数据对状态估计的影响程度，其计算方法反映了系统中预测和测量的可信度。卡尔曼增益的计算公式如下：

[ K_k = P_{x_k|x_{k-1}} H^T (H P_{x_k|x_{k-1}} H^T + R)^{-1} ]

这里的 ( P_{x_k|x_{k-1}} ) 表示预测误差协方差，( H ) 是观测矩阵，( R ) 是观测噪声协方差。卡尔曼增益 ( K_k ) 通过最小化估计误差的协方差来更新状态估计。

代码块解释：

% 假设 P_pred 为预测误差协方差，H 为观测矩阵，R 为观测噪声协方差
K = P_pred * H' / (H * P_pred * H' + R);

在上面的代码块中， K 就是卡尔曼增益，它通过计算得出，用于后续的状态更新。

5.1.2 更新状态估计的步骤和细节

更新状态估计的步骤包括计算状态更新和误差协方差更新：

状态更新公式为： [ \hat{x} k = \hat{x} {k|k-1} + K_k (z_k - H \hat{x}_{k|k-1}) ]

误差协方差更新公式为： [ P_k = (I - K_k H) P_{k|k-1} ]

其中，( \hat{x} {k|k-1} ) 是基于前一时刻信息的状态预测，( z_k ) 是当前时刻的观测值，( P {k|k-1} ) 是预测误差协方差。

代码块解释：

% 假设 x_pred 为状态预测，z 是观测值，P_pred 为预测误差协方差
x_updated = x_pred + K * (z - H * x_pred);
P_updated = (eye(size(H,1)) - K * H) * P_pred;

在这段代码中， x_updated 和 P_updated 分别是更新后的状态估计和误差协方差。

5.2 UKF中的滤波更新问题

5.2.1 更新过程中的主要误差来源

UKF算法在状态更新过程中会遇到多种误差来源，这些误差影响滤波器性能和状态估计的准确性。主要误差来源包括：

观测噪声：由传感器和外部环境引起的误差。
过程噪声：由于模型不完善和外部扰动引起的误差。
数值稳定性问题：特别是矩阵求逆和浮点数运算可能引入的数值误差。

表 5.1 汇总了更新过程中可能遇到的误差来源及其影响：

| 误差来源 | 影响 | 解决方法 | | --- | --- | --- | | 观测噪声 | 导致状态估计偏离实际 | 提高传感器质量，优化观测模型 | | 过程噪声 | 引起状态预测的不准确 | 改进过程模型，减少模型不确定性 | | 数值稳定性问题 | 影响计算精度 | 使用数值稳定性高的算法，如平方根UKF |

5.2.2 提高滤波稳定性和准确性的策略

为了提高UKF的稳定性和准确性，可以采取以下策略：

使用更好的传感器和改进的传感器模型以减少观测噪声。
通过系统辨识技术来优化过程模型，减少过程噪声。
在实现UKF时，采用数值稳定性高的算法，如平方根UKF（SR-UKF），以减少数值误差。

代码块解释：

% 一个简化的平方根UKF实现示例
% 假设 sqP_pred 为误差协方差的平方根矩阵，L 为一个矩阵因子
x_updated = x_pred + K * (z - H * x_pred);
L = cholupdate(sqP_pred, K * H * sqP_pred, 'plus');
sqP_updated = cholupdate(L, -K * sqrt(R), 'plus');

在这个代码块中， sqP_pred 和 sqP_updated 分别代表了误差协方差的平方根矩阵，在更新前后。 L 是一个中间变量，用于维护协方差的数值稳定性。通过使用 cholupdate 函数，我们在不进行直接求逆的情况下更新了协方差，从而提高了算法的数值稳定性。

6. UKF在MATLAB中的具体实现步骤

在这一章节中，我们将探讨如何在MATLAB环境中实现无迹卡尔曼滤波器（UKF），从构建算法框架到进行仿真实验，并分析其在不同领域的应用案例。MATLAB作为一个强大的数学计算和仿真软件，对于研究UKF等复杂算法提供了一个便捷的平台。

6.1 MATLAB环境下UKF的框架构建

6.1.1 UKF算法的关键MATLAB函数和模块

在MATLAB中实现UKF算法，我们需要掌握以下几个关键函数和模块：

sigmaPoints : 生成Sigma点
predict : 状态预测和协方差预测
update : 滤波更新

首先，我们定义一个结构体来保存算法中需要的所有参数，例如：

% 初始化结构体参数
params.StateDim = 4;  % 状态维度
params.MeasDim = 2;   % 测量维度
params.SigmaPointsNum = 2*params.StateDim + 1;  % Sigma点数量
params.Wm = ones(1, params.SigmaPointsNum) / params.SigmaPointsNum;  % 权重
params.Wc = ones(1, params.SigmaPointsNum) / params.SigmaPointsNum;
params.Wc(1) = params.Wc(1) + (params.StateDim + lambda);

这里 lambda 是一个扩展因子，用于调整Sigma点的分布。

6.1.2 算法参数的初始化和配置

接下来，我们需要初始化状态估计值和协方差矩阵：

% 初始状态估计值
x = zeros(params.StateDim, 1);
% 初始状态协方差矩阵
P = eye(params.StateDim);

同时，还需定义系统过程和测量函数，例如：

% 系统过程函数（离散时间状态转移函数）
function x = process_function(x, dt)
    % 这里添加系统动力学模型
    % ...
end

% 测量函数
function z = measurement_function(x)
    % 这里添加测量模型
    % ...
end

6.2 UKF仿真案例分析

6.2.1 选择合适的应用场景

为演示UKF在MATLAB中的具体实现，我们选取一个典型的应用场景：自动驾驶汽车的定位问题。在这个场景中，状态变量可能包括位置、速度和加速度等。

6.2.2 MATLAB仿真步骤和结果解读

在MATLAB中进行UKF仿真的步骤大致如下：

初始化参数和仿真环境。
生成初始Sigma点集合。
执行时间更新，预测下一个时间点的状态和协方差。
执行测量更新，结合实际测量数据调整状态估计。
输出估计结果，进行性能评估。

实际仿真代码示例：

% 生成Sigma点集合
sigmas = sigmaPoints(x, P);

% 模拟过程和测量
for k = 1:K
    % 时间更新
    sigmas_pred = predict(sigmas, dt);
    x_pred = mean(sigmas_pred);
    P_pred = covariance(sigmas_pred);
    % 测量更新
    z = measurement_function(x_pred);
    sigmas_updated = update(sigmas_pred, z);
    x_updated = mean(sigmas_updated);
    P_updated = covariance(sigmas_updated);
    % 存储结果
    % ...
end

% 结果解读
% ...