利用欧几里得算法求整系数一次不定方程ax+by=c的解

最新推荐文章于 2020-10-21 23:51:44 发布

nowting_csdn

最新推荐文章于 2020-10-21 23:51:44 发布

阅读量1.2k

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏： --------数论-------- 程序设计与分析（c++实现）文章标签：扩展欧几里得

个人笔记，仅供复习

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_42373330/article/details/89848777

本文介绍了利用欧几里得算法来求解整系数一次不定方程ax+by=c的方法。通过无递归和递归两种方式详细阐述了算法的实现过程，并提供了相关代码示例。算法可以找到满足条件的整数解x和y。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

以下大部分来自《ACM/ICPC程序设计与分析》

已知：gcd(a,b) =gcd(b,a%b)

$求整数a和b的最大公约数的欧几里得算法。作辗转相除如下：{\text{求整数a和b的最大公约数的欧几里得算法。作辗转相除如下：}}$
$gcd(a,b)对应a=bq0+r1(r1<b){gcd(a,b)}\qquad \qquad {\text{对应}} \qquad \qquad a=bq_{0}+r_{1}\qquad (r_{1}<b)$
${gcd(b,r_1)}\qquad \qquad {\text{对应}} \qquad \qquad b=r_1q_{1}+r_{2}\qquad (r_{2}<r_1)$
${gcd(r_1,r_2)}\qquad \qquad {\text{对应}} \qquad \qquad r_1=r_2q_{2}+r_{3}\qquad (r_{3}<r_2)$
${gcd(r_2,r_3)}\qquad \qquad {\text{对应}} \qquad \qquad r_2=r_3q_{3}+r_{4}\qquad (r_{4}<r_3)$

· · ·

$  gcd(rn−2,rn−1)对应rn−2=rn−1qn−1+rn (rn<rn−1)\;\; {gcd(r_{n-2},r_{n-1})} \qquad {\text{对应}} \qquad r_{n-2}=r_{n-1}q_{n-1}+r_{n} \;(r_{n}<r_{n-1})$
$ gcd(rn−1,rn)对应rn−1=rnqn+rn+1(rn+1=0)\; {gcd(r_{n-1},r_{n})}\qquad {\text{对应}} \qquad r_{n-1}=r_{n}q_{n}+r_{n+1}\qquad (r_{n+1}=0)$
$gcd(r_n,r_{n+1})\qquad {\text{对应}} \qquad r_n=r_{n+1}q_{n+1}+r_{n+2} 此时r_{n+1}=0,return \;\;r_n$
$那么     gcd(a,b)=rn{\text{那么}} \qquad \qquad \;\;\;\;\; gcd(a,b)= r_n$