uvalive 5971 解题报告（找规律+推理）

Permutation Counting
Dexter considers a permutation of first N natural numbers good if it doesn't have x and x+1 appearing cons ecutively, where (1 ≤ x < N). For example, for N=3, all good permutations are:
1.{1, 3, 2}
2.{2, 1, 3}
3.{3, 2, 1}
Input
Input starts with an integer T (≤ 10000), denoting the number of test cases.Each case starts with a line containing an integer N (1 ≤ N ≤ 10^6).
Output
For each case, print the case number and the number of good permutations modulo 1000000007.
Sample Input
3
2
3
5
Sample Output
Case 1: 1
Case 2: 3
Case 3: 53

---

解析：

这题主要是求递推公式：

递推公式为：f(n)=f(n-1)*(n-1)+f(n-2)*(n-2)      -----下面来解释解释

f(n)可以建立在f(n-1)的基础上插入n这个数的操作以及不同于这个的操作的两个部分

想想为什么会这样呢，因为f（n）对于f（n-1）数量上只是多出了一个数字n，那么他多出的情况又有多少呢？

首先是在f（n-1）的基础上插入n形成新的符合条件的排列，还有对于n-1时只有一个x ，x+1（因为数字n只能破坏一个x,x+1）的情况（下面举例），只要把n插入到x与x+1之间，就能形成新的符合条件的排列，这是f（n-1）所没有的排列

如  1 2 4 3  只有一个x，x+1中情况即1,2，       在1,2之间插入5成为     1  5 2 4 3

      4 3 1 2        这个也是只有一个x,x+1,                        插入5  后         4 3  1 5 2

还有其他只有一个x，x+1的就不一一举例了

下面以n=5为例

1. 、对于f(n-1)*(n-1)这部分，
          假设 f(4) 已知，那么对于n=4时的每一种排列（共f（4）种），5插入的位置有5个但数字4的后面不能插数字5，故有四个位置可插，故总数为 f（4）*4
          对于一般情况的n，则为f(n-1)*(n-1)

2. 、对于f(n-2)*(n-2) 这部分，这部分可能比较难理解，上面的红字讲到对于n-1时只有一个x ，x+1（因为数字n只能破坏一个x,x+1）
   的数量就是f（n）-f(n-1)*(n-1),我们只要证明其等于f(n-2)*(n-2)即可
   我们可以把这里的x，x+1看成x，然后将x+2，x+3，......,n-1;都减1，变成x+1，x+2，.......n-2，这排列的数量就是f（n-2）；
   而对于n-1，x，x+1的情况与n-2个，以n=5为例有，对于4来说，有（1,2），（2,3），（3,4）三个即（n-2）个
   故f（n）-f(n-1）*（n-1）=f(n-2)*(n-2);

ac代码：

#include<cstdio>
#include<string.h>
#include<stack>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define ll long long
ll a[1000003];
int main()
{
    //f(n)=f(n-1)*n-(n-3)
    int t;
    int n;
    a[1]=1;
    a[2]=1;
    for(int i=3;i<=1000000;++i)
        a[i]=(a[i-1]*(i-1)+a[i-2]*(i-2))%mod;

    scanf("%d",&t);
    for(int w=1;w<=t;++w)
    {
        scanf("%d",&n);

        printf("Case %d: %d\n",w,a[n]%mod);


    }

	return 0;
}