B树和B+树

一、文章内容

从磁盘结构，数据如何存储到磁盘上到索引的由来，为什么使用多级索引。
m-way-tree => b-tree => b+tree
文章内容来自B站，一个有咖喱味的视频
文章中的扇区和视频中将的块有出入，参考了下网上的，好像磁盘的最小单位是扇区

二、磁盘结构

（一）磁盘结构-同心圆一样的逻辑圈

1. 逻辑圈 : 磁道（图中的蓝圈）是同心圆，从外向内一圈一圈的先是第一分区，然后是第二个分区是不错的，但是并不连续（逻辑连续但物理不连续）。
2. 第一磁道 : 最外面的蓝圈 (0) 。
3. 扇区 : 磁道和扇形区域相交的位置，如第一磁道和扇形 0 区相交的区域（绿色），扇区是磁盘的基本读写单位，通常是512字节。由于不断提高磁盘的大小，部分厂商设定每个扇区的大小是4k (4096字节) 。
4. 假设 : 图中一共有24个扇区 (4磁道 * 6扇形) ，每个扇区的大小为512字节，共可以存储12k的数据(24*512/1024) 。

（二）磁盘读写

取图中的扇区 (绿色) 为例

1. 0 ~ 511 : (一) 中假定扇区大小是 512 byte 。

2. offset : 内存地址偏移量

3. 内存地址 : 我们需要知道磁道号，扇区，和内存地址偏移量才能找到内存地址。

4. 数据读写 :

5. 其他 : 有关磁盘柱面、寻址等相关信息之后再写。

三、索引

（一）对象存储和假设

1. Employee对象 : Employ对象中有eid，name，dept等域，假设每个employee对象占用128 bytes，其中 eid占10 bytes 。
2. 数据库表 : 假设表中有100行数据，每行数据占128 bytes。
3. 磁盘解耦 : 每个扇区能存储 512 位的数据。
4. 100 行数据需要 100 * 128 / 512 = 25 个扇区来存储

所以，当我们查询时，最多需要访问25个扇区才能找到数据（读IO，就是发指令，从磁盘读取某段扇区的内容)

（二）稠密索引

1. index数据表 : index每行都由 eid (employee对象的id - 之前假设占 10 bytes) 和 pointer指针 (指向数据库表中的employee 内存地址 - 假设占 6 bytes)，所以index表每行占 16 bytes，共100行 。
2. index 占用扇区 : index占用的扇区为16 * 100 / 512 = 3.125，需要4块扇区存储 (每块可以存储 512 / 16 = 32 行)。

所以， 100行数据需要25块扇区来存储， 而100行数据使用稠密索引，稠密索引需要用4块扇区来存储，此时数据查找最多需要访问5个扇区就能拿到所需数据的内存地址指针， 4 + 1 = 5次 IO 就能拿到数据

（三）稀疏索引

在数据指数级增长的情况下，稠密索引占用过多块，磁盘IO过多，以下图片省略磁盘结构部分 （记得稠密索引访问扇区时还需要进行一次 IO）

假设此时有1000个employee对象存到数据表中

1. 数据占用扇区 : 每行数据占用 128 bytes，数据一共需要 1000 * 128 / 512 = 250 个扇区。
2. 稠密索引表 : 每个索引行占用 16 bytes， 稠密索引表一共需要 1000 * 16 / 512 = 31.25 ≈ 32 个扇区，此时搜索速度下降，需要更高级的索引。
3. 稀疏索引表 : 每个索引行占用 16 bytes， 其中每行的索引范围为 32，1000个稠密索引需要 1000 / 32 = 31.25 ≈ 32 行稀疏索引行，而32行 16 bytes的稀疏索引刚好为一个扇区。
4. 此时查找数据如查询ID为50， 则从稀疏索引扇区 33 ~ 64 的索引行获取到稠密索引所在扇区的指针，从稠密索引扇区处获取指向ID为50的具体数据记录内存地址的指针，再访问该数据扇区。 一共三次 IO

所以，当我们查询时，最多需要访问25个磁盘才能找到数据（读IO，就是发指令，从磁盘读取某段扇区的内容)

四、搜索树

在线数据结构可视化工具

（一）BST - 二叉搜索树

1. 左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值
2. 右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值
3. 左右子树都是BST (Binary Search Trees)
4. BST树种每个节点只有一个key，有两个子节点
5. 超过一个以上key (关键字) 的节点 或 子节点超过两个以上 - 多路查找树

（二）muitl-way search tree - 多路搜索树

1. 每个节点最多有3个子节点
2. 每个节点有2个key关键字

3. 4-way搜索树中有3个关键字，每个关键字都有对应指向记录的指针
4. 4-way搜索树中有4个子节点，有4个指向子节点的指针
5. muitl-way search tree 可能退化为链表，如下图
   
   所以，为了防止这种情况出现，必须加上限制条件 ==> B-trees

（三）B-Trees

约束

假设度为M - 拥有最多孩子节点的节点所拥有的孩子节点的个数

• 1）Root结点至少有两个子女
• 2）每个非根节点所包含的关键字个数 j 满足：m/2 - 1 <= j <= m - 1。即当度为10，则非根节点的关键字必须在 4~9之间 （最大关键字个数 = M - 1 = 9）
• 3）除根结点以外的所有结点（不包括叶子结点）的度数正好是关键字总数加1，故内部子树个数 k 满足：m/2 <= k <= m。即 2）中的关键字 + 1 也就是当度为10，关键字在 4 ~ 9之间，则子节点个数要 >=5
• 4）叶子结点位于同一层
• 5）创建的过程自下而上

创建过程

在线数据结构可视化工具

每个节点上的关键字都有指向数据的指针，比如root节点的 20和50 (key) 都有指向数据记录的指针

（四）B+Trees

相比较B-Trees

• B+树中，非叶子节点中的key关键字没有指向记录的指针
• B+树中，仅叶子节点有指向记录数据的指针
• B+树中，每个关键字都在叶子节点中有其副本，如下图
  M=4 的 B树和B+树插入10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,11,21,31,41,51,61,71,81,91对比
  

1. B+树中的每个关键字在叶子节点中都有其副本
2. B+树中的叶子节点有指向下一个节点的兄弟指针 (链表 - 稠密索引)