二维和三维TTI各向异性介质快速扫描法（Fast Sweeping Method，FSM）走时计算，以及因式分解程函方程解法（Factored Eikonal Equation）

1 简介

        该方法原创作者为Waheed（2015），文章在地球物理权威期刊Geophysics上发表，向原创致敬。本人做了复现，虽然是复现，但是也花了不少的时间。其中的一些问题，想了很久才解决。当然所有问题都解决以后回头再看，就觉得所有的问题原来都不是什么特别的难题。（推导和编程心得：抓住核心变量，将复杂公式抽象简单化，有助于快速推导出形式简洁的结果，从而也易于编程！）

2 关键问题

        方法原理极力推荐阅读参考其原创文章，在这里强调几个重点：

2.1 因果律

        因果律的本质是物理过程的时间顺序不可逆性，要求原因必须先于结果，在地震波传播中，程函方程的解必须对应实际波前到达时间，而非数学上的任意解。其表达式所代表的物理含义是群速度（射线方向）要和走时更新的方向一致。

2.2 群速度

        沿x轴和z轴群速度的计算，可以采用Shooting方法（Qian，2012），或者Fomel（2004）近似公式。但更准确的是直接用Hamilton形式的程函方程推导，如下：

2.3 Hamilton量

        二维TTI椭圆各向异性介质程函方程对应的Hamilton可统一表达为

.

令，, 则有;

,

.

        上面这两个式子很重要，既能用来推导沿x轴和z轴群速度，又能用来做因果律的判定。

        三维TTI拓展：三维TTI椭圆各向异性介质程函方程对应的Hamilton可统一表达为

;

,

,

.

        三维情况下，三维退化二维平面和一维沿轴情形，在两个轴的平面上满足的TTI方程，沿轴方向的群速速和因果律判定依然采用上面的三个式子！

3 计算实例

        重点强调完了，直接上结果，FSM走时计算结果（红线）与弹性波模拟的波前面完美匹配，说明了计算的正确性。

4 说明

        这里我还没有用到因式分解的解法，因为不做因式分解的结果已经和波前面匹配非常良好了。如果对走时计算精度有更高的要求，可以进一步考虑因式分解解法，将原程函方程分解为以原点处介质参数为背景满足的背景走时场（有解析解，参考Luo et al., 2012, Waheed 2017, 2018）和走时扰动走时场:

或者，

扰动方程依然可通过快速扫描法求解，形式类似上面的过程！

        有需要代码的直接私聊我，本人非常愿意相互学习共享基础性研究的成果。