二分匹配Hopcroft-Carp算法

最新推荐文章于 2024-06-17 14:21:16 发布

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本文深入探讨了二分图最大匹配问题的求解算法，重点介绍了如何通过寻找增广路径来逐步优化匹配，实现最大匹配的目标。文章详细解释了增广路的概念及其在算法中的应用，并提供了具体的代码实现，帮助读者理解算法的工作原理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

注意增广路的概念：匹配的点相连的路放入集合s,遍历未匹配的点（左集合），找一个与他相邻的点（右集合），若那个点也未匹配，则找到了增广路的终点。否则找那个对应的左集合里的点,然后走一条不属于s的路，循环直到找到一个右集合中未匹配的点为止，则从起点到终点为一条增广路。相当于走（不属于s的路-》属于-》不属于）这样一条交错路。最后将这条路与之前路的异或（取消相同的路），得到的一个新的s，这时匹配的数量会加一。（因为这样其他已匹配的点可以换到匹配其他点去。可以让出来一个点给新来的要匹配的那个点）


#include<iostream>

 #include<queue>

 using namespace std;

 const int MAXN=500;// 最大点数

 const int INF=1<<28;// 距离初始值

 int bmap[MAXN][MAXN];//二分图

 int cx[MAXN];//cx[i]表示左集合i顶点所匹配的右集合的顶点序号

 int cy[MAXN]; //cy[i]表示右集合i顶点所匹配的左集合的顶点序号

 int nx,ny;

 int dx[MAXN];

 int dy[MAXN];

 int dis;

 bool bmask[MAXN];

 //寻找 增广路径集

 bool searchpath()

 {

    queue<int>Q;

    dis=INF;

    memset(dx,-1,sizeof(dx));

    memset(dy,-1,sizeof(dy));

    for(int i=1;i<=nx;i++)

    {

       //cx[i]表示左集合i顶点所匹配的右集合的顶点序号

       if(cx[i]==-1)

       {

          //将未遍历的节点 入队 并初始化次节点距离为0

          Q.push(i);

          dx[i]=0;

       }

    }

    //广度搜索增广路径，这样可以保证深搜时只走最短的增广路

    while(!Q.empty())

    {

       int u=Q.front();

       Q.pop();

       if(dx[u]>dis) break;

       //取右侧节点

       for(int v=1;v<=ny;v++)

       {

          //右侧节点的增广路径的距离

          if(bmap[u][v]&&dy[v]==-1)

          {

             dy[v]=dx[u]+1; //v对应的距离 为u对应距离加1

             if(cy[v]==-1) dis=dy[v];     //如果该点未被匹配，那么增广路形成，找到一个点可以使其他已匹配的点换到别的去匹配。

             else                         //如果该点匹配了，那么接着往下搜

             {

                dx[cy[v]]=dy[v]+1;

                Q.push(cy[v]);

             }

          }

       }

    }

    return dis!=INF;

 }

 //寻找路径 深度搜索

 int findpath(int u)

 {

    for(int v=1;v<=ny;v++)

    {

       //如果该点没有被遍历过 并且距离为上一节点+1，只有增广路上的点才会满足距上一节点距离加一的条件，且只要满足这样的条件，他俩就有可能可以匹配上

       if(!bmask[v]&&bmap[u][v]&&dy[v]==dx[u]+1)

       {

          //对该点染色

          bmask[v]=1;

          if(cy[v]!=-1&&dy[v]==dis)   //如果该点已经被匹配了并且为最后一个匹配点，这条路也可能是增广路，但是不是最短的，因此没记录终点。深搜这条会浪费时间因此跳过

          {

             continue;

          }

          if(cy[v]==-1||findpath(cy[v]))  //如果该点未匹配或者后面的点能腾出位置，那么这就是增广路

          {

             cy[v]=u;cx[u]=v;

             return 1;

          }

       }

    }

    return 0;

 }

 //得到最大匹配的数目

 int MaxMatch()

 {

    int res=0;

    memset(cx,-1,sizeof(cx));

    memset(cy,-1,sizeof(cy));

    while(searchpath())    //如果存在增广路

    {

       memset(bmask,0,sizeof(bmask));

       for(int i=1;i<=nx;i++)

       {

          if(cx[i]==-1)

          {

             res+=findpath(i);

          }

       }

    }

    return res;

 }

 int main()

 {

    int num;

    scanf("%d",&num);

    while(num--)

    {

       memset(bmap,0,sizeof(bmap));

       scanf("%d%d",&nx,&ny);

       for(int i=1;i<=nx;i++)

       {

          int snum;

          scanf("%d",&snum);

          int u;

          for(int j=1;j<=snum;j++)

          {

             scanf("%d",&u);

             bmap[i][u]=1;

            // bmap[u][i]=1;

          }

       }

      // cout<<MaxMatch()<<endl;

       if(MaxMatch()==nx)

       {

          printf("YES\n");

       }

       else

       {

          printf("NO\n");

       }

    }

    //system("pause");

    return 0;

 }

 /*

4

1 3

1 3 4

2

 */