e的负jwt次方怎么积分_实变函数 | 勒贝格积分的定义和一些收敛定理

勒贝格积分的定义分了4个步骤：

For a simple function with canonical form

, we define the Lebesgue integral of

by

【对于简单函数，积分就是把拥有相同权重的那些集合拼到一起，求出面积，再求和】

For a measurable function

bounded by

and supported on a set

of finite measure, we define its Lebesgue integral by

,where simple functions

are bounded by

,supported on

and

for a.e.

【定义在有限测度集合上的有界可测函数，它的L积分可以用简单函数来逼近】

For non-negative measurable function

,define

,where the supremum is taken over all measurable functions

s.t.

,and

is bounded and supported on a set of finite measure.

【非负可测函数的积分可以用有界可测函数来逼近】

For a general measurable function

, define

【一般的可测函数，把它分成非负和负两个部分，再组合】

---

为了能够交换积分与极限的次序，我们有一些工具。

（Bounded convergence theorem）Suppose that

is a sequence of measurable functions that all bounded by

, are supported on a set

of finite measure, and

a.e. .Then

is measurable, bounded, supported on

for a.e.

, and

. Consequently,

.

【控制收敛定理主要是在说，如果我们能够为我们的目标函数找到一个定义在有限可测集上的有界可测函数序列，并且这个函数序列是几乎处处收敛于我们的目标函数的，那么，我们的目标函数也是几乎处处可测的，有界的，定义在有限可测集上的，并且，目标函数的勒贝格积分就是函数列积分的极限。换句话说，在这么多的限制条件下，我们可以交换积分与极限的顺序。】

【

，虽然

对所有的

都成立，但

。原因是

非bounded】

(Fatou) Suppose

, and

a.e., then

.

【法图引理为积分提供了一个上界，这个上界来自于一个几乎处处收敛于目标函数的非负函数序列。】

证明如下：

设

，where

is

bounded and supported on a set

with

。 接着我们令

，那么

是可测的, bounded, supported on

，并且

a.e., 那么根据上边的控制收敛定理，我们有

。又因为

那么

。接着根据勒贝格积分定义的第三步，我们take the supremum over all

，可以得到

。

(Monotone convergence theorem) Suppose measurable functions

a.e., then

【这里仅仅是比法图引理多了一个单调递增的条件，我们便可以交换积分和极限的次序了。因为由法图引理我们可以得到一个上界，我们再对

的积分 take limsup，又可以得到一个下界，于是得到我们的结论。】

【个人感觉和数分里的单调有界定理有点像。】

(Borel-Cantelli lemma)

is a collection of measurable subsets with

. Then

.

这个定理在说，如果一系列的可测集测度之和是有限的，那么那些存在于无限多个集合里的点的测度为零。

我们记

那么

当且仅当

。因为

，于是有

故

。

【例： 在

上，当

，有

，当

，有

。于是存在一个

，使得对任意的

，有

。

证明：我们首先来分割

的值域， 令

，令

,

，那么显然有

在

上成立，因此有

。我们记

，由于

，

，于是有

】

（Dominated Convergence Theorem) Suppose

is a sequence of measurable functions s.t.

If

then

.

令

因为

，我们有

。所以我们有