计算机视觉学习(八)--基础矩阵(多视图几何)

本文深入探讨了计算机视觉中的对极几何原理,包括对极点、对极平面和对极线的概念,并详细解释了本质矩阵及其与基础矩阵的关系。通过实例展示了如何从匹配的特征点计算基础矩阵,并分享了室内和室外实验的结果,揭示了在实际应用中可能遇到的问题和挑战。

一、原理

对极几何

对极几何,一定是对二幅图像而言,对极几何实际上是“两幅图像之间的对极几何”,它是图像平面与以基线为轴的平面束的交的几何(这里的基线是指连接摄像机中心的直线),以下图为例:对极几何描述的是左右两幅图像(点x和x’对应的图像)与以CC’为轴的平面束的交的几何!
在这里插入图片描述
上图中,点x、x’与摄像机中心C和C’是共面的,并且与空间点X也是空面的,这5个点共面于平面π!这是一个最本质的约束,即5个点决定了一个平面π。
由此可以推导出:由图像点x和x’反投影的射线共面,并且,在平面π上,在搜索点对应中,该性质非常重要。
对极平面束:以基线为轴的平面束;下图为包含两个平面的对极平面束:
在这里插入图片描述
直线CC’为基线,以该基线为轴存在一个平面束,该平面束与两幅图像平面相交,上图图给出了该平面束的直观形象,可以看到,该平面束中不同平面与两幅图像相交于不同直线;之前的灰色平面π,只是过基线的平面束中的一个平面(当然,这个平面才是平面束中最重要的、也是我们要研究的平面)。

对极点 = 基线与像平面相交点 = 光心在另一幅图像中的投影
对极平面 = 包含基线的平面
对极线 = 对极平面与像平面的交线

本质矩阵

本质矩阵描述了空间中的点在两个世界坐标系中的坐标对应关系。
如果已知基础矩阵F,以及一个3D点在一个像面上的像素坐标p,则可以求得在另一个像面上的像素坐标p‘。设X在C,C’坐标系中的相对坐标分别p,p’,则有:
在这里插入图片描述
根据三线共面:
在这里插入图片描述
其中的RS相乘得到的E即为本质矩阵,描述了空间中的点在两个坐标系中的坐标对应关系。
根据前述, K 和 K’ 分别为两个相机的内参矩阵:
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
基础矩阵是对极几何的代数表达方式,描述了图像中任意对应点 x↔x’ 之间的约束关系。F 为 3x3 矩阵,秩为2,对任意匹配点对 x↔x’ 均满足上式

参考博文:多视图几何-https://blog.youkuaiyun.com/weixin_43843780/article/details/89362546
对极几何-https://blog.youkuaiyun.com/tina_ttl/article/details/52749542

实现代码
from PIL import Image
from numpy import *
from pylab import *
import numpy as np
from PCV.geometry import camera
from PCV.geometry import homography
from PCV.geometry import sfm
from PCV.localdescriptors import sift


# Read features
# 载入图像,并计算特征
im1 = array(Image.open('s1.jpg'))
sift.process_image('s1.jpg', 'im1.sift')
l1, d1 = sift.read_features_from_file
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