基本同态定理

本文深入解析了群论中的关键概念,包括自然同态定理、基本同态定理、正规子群的性质、拉格朗日定理及其实用推论。探讨了同余关系下群的划分、等价类与陪集的关系,以及同态核的特性。通过丰富的例题,阐述了群、子群和正规子群间的复杂关系。

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TH1 Natural Homomorphism自然同态

  • 假设R是广群(G,*)上的一个同余关系
  • (G/R,*’)是对应的商广群
  • 那么函数fR:G->G/R 记作fR(a)=[a]
  • fR是一个满同态,被称为自然同态

这个定理的证明需要两步:1.证明fR是一个映上(满射)函数。2.证明fR是从G->G/R的同态

自然同态描述的是以一个同余关系划分的商广群与原来的群之间的关系,所谓的自然是因为他们的映射关系仅仅是通过同余关系来限定的。

TH2 基本同态定理

假设

  • f:G–>G’是一个满同态
  • R是G上的一个关系定义为任意a,b∈G ,a R b等价于f(a)=f(b)

那么

  • R是一个同余关系
  • G’与商子群(G/R,*’’)是同构的
  • 基本同态定理

什么是基本同态定理?描述的是一个三角关系,群G,商子群G/R,以及一个通过满同态来定义的群G’,其中,最特殊的是G/R与G’之间的同构关系

Normal Subgroup正规子群

  • 定义:如果一个子群的左陪集等于右陪集,对于任意G中的元素,那么我们就称这个子群为正规子群

所谓的左陪集,是指,H是G的子群,对于a1∈G,a1H是H在G的左陪集之一,在考试当中,有时会考到求出H在G中的所有不同的左陪集

  • 需要注意的是,定义中的aH=Ha,并不是意味这,存在h属于H,使得ah=ha,而是存在h和h’,ah=h’a。

TH3 K是关于G的一个有限子群,K关于G的所有左陪集的个数等于K的元素的个数

TH4 (拉格朗日群定理)子群的阶一定是有限群的阶的因数值

这里的阶其实就是指元素的个数

该定理的证明主要用到了定理3,设H是G的子群。H在G的每一个左陪集都是一个等价类。将G作左陪集分解,由于每个等价类的元素个数都相等,都等于H元素的个数,所以G的阶整除H的阶,商为H在G中左陪集的个数记作[G:H]。

|G|=[G:H]*|H|

TH5 等价类与陪集的关系

假设

  • R是在G上的同余关系
  • H=[e],一个包含了单位元的等价类

那么

  • H是G的一个正规子群
  • [a]=aH=Ha,对于所有的a∈G

关于以同余关系划分的等价类与陪集之间的关系,首先我们很容易知道,单位元的等价类是一个正规子群,因为无论是左乘还是右乘单位元,都得到自身,所以满足正规子群的定义,再者,为什么我们要把等价类与陪集联系起来?不就是让我们以陪集的方式划分等价类嘛?如果我们能找到单位元的等价类,他的所有左陪集就是所有的等价类

  • (aN)(bN)=[a]*[b]=[ab]=abN
  • fR(a)=aN是从G–>G/R的一个同态因此我们也可以把G/R写作G/N

TH6 同余关系和正规子群

假设

  • N是一个关于G的正规子群
  • aRb当且仅当a-1b∈N

那么

  • R是一个同余关系
  • N是一个以R划分的等价类[e],e是G里面的单位元

推论

  • 假设f是一个同态,由G->G’,
  • f的核,ker(f),记作ker(f)={a∈G|f(a)=e’}

不难理解,一个同态的核是一系列的属于G的元素,这些元素经过f映射后到了G’中成为了单位元,故称其为f的核

  • ker(f)是G的正规子群
  • 商群G/ker(f)与G’是同态

例:G是一个群,N,H是G的子群,且N是G的正规子群,证明:

  1. HN是G的一个子群
  2. N是HN的正规子群

证明:

  1. 要证HN是G的子群,要整HN满足封闭性,存在单位元以及逆元
    设a属于H,则a也属于G,b属于N,则b也属于G,ab属于G所以HN是G的子群设a属于H,则a也属于G,b属于N,则b也属于G,ab属于G所以HN是G的子群
  2. 要证N是HN的正规子群,也就是证任意a∈HN,aN=Na,
    任意a∈HN,a也属于G,N是G的正规子群,所以aN=Na,所以N是HN的正规子群
<think>我们正在处理关于群同态基本概念和特性的问题。用户意图是理解群同态的性质及其应用。首先,需要明确群同态的定义和关键性质。然后,可以介绍一些应用实例。根据任务要求,需要通过网络搜索获取准确信息,但这里作为模拟,将基于已有的数学知识构建答案,并注意格式要求。重点包括:1.群同态的定义:设$G$和$H$是两个群,映射$f:G\toH$如果满足对任意$a,b\inG$有$f(ab)=f(a)f(b)$,则称$f$为群同态。2.性质:核(kernel)、像(image)、同态基本定理等。3.应用:在群论、代数结构中的应用,如同构定理、正规子群和商群的构造等。按照要求,答案需要组织为多个方法或步骤(每个步骤间换行),避免使用第一人称和步骤词汇(如首先、然后)。同时,在最后添加相关问题部分,标题为“§§相关问题§§:”,并列出3个相关问题。由于不能实际调用网络搜索工具,这里将根据专业知识构建答案。注意:数学公式必须用$或$$包裹,代码块(如果有)用三个反引号指定语言类型。答案结构:第一部分:群同态基本概念第二部分:主要性质(分点说明,每点换行)第三部分:应用举例(简要说明)最后:相关问题注意:禁止引用内容集中在末尾,所以引用的内容(如果有)需要融入答案中。由于是数学内容,可能会有公式,需严格遵循格式。</think>### 群同态基本概念与特性 #### 基本概念 群同态群论中保持群结构的映射。设 $(G, \cdot)$ 和 $(H, \ast)$ 是两个群,映射 $\phi: G \to H$ 若满足: $$\forall a, b \in G, \quad \phi(a \cdot b) = \phi(a) \ast \phi(b)$$ 则称 $\phi$ 为群同态。 - **核**(Kernel):$\ker(\phi) = \{ g \in G \mid \phi(g) = e_H \}$($e_H$ 是 $H$ 的单位元) - **像**(Image):$\operatorname{im}(\phi) = \{ \phi(g) \mid g \in G \} \subseteq H$ #### 核心性质 **同态基本定理** 若 $\phi: G \to H$ 是满同态,则 $G/\ker(\phi) \cong \operatorname{im}(\phi)$,其中 $\cong$ 表示群同构。 该定理建立了商群与像的同构关系。 **核与像的结构** - $\ker(\phi)$ 是 $G$ 的正规子群 - $\operatorname{im}(\phi)$ 是 $H$ 的子群 - 单同态等价于 $\ker(\phi) = \{e_G\}$ - 满同态等价于 $\operatorname{im}(\phi) = H$ **同态的性质传递** - 单位元映射:$\phi(e_G) = e_H$ - 逆元映射:$\phi(g^{-1}) = [\phi(g)]^{-1}$ - 阶数关系:若 $g \in G$ 的阶有限,则 $\phi(g)$ 的阶整除 $g$ 的阶 #### 应用方向 1. **群分类**:通过同态研究群的结构,如证明循环群同构于 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 2. **密码学**:在基于离散对数问题的加密方案(如Diffie-Hellman)中,利用群同态构造单向函数 3. **代数拓扑**:定义基本同态 $\pi_1(f): \pi_1(X) \to \pi_1(Y)$ 分析连续映射 $f: X \to Y$ 的拓扑性质 4. **表示理论**:群同态 $\rho: G \to \operatorname{GL}(V)$ 将群元素映射为线性变换,实现抽象群的矩阵表示 #### 计算示例 验证映射 $\phi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_n, \phi(k) = k \mod n$ 是同态: ```python def is_homomorphism(n, a, b): # 群运算:整数加法 vs 模n加法 lhs = (a + b) % n # φ(a + b) rhs = (a % n + b % n) % n # φ(a) + φ(b) return lhs == rhs # 验证:取 n=5, a=7, b=3 print(is_homomorphism(5, 7, 3)) # 输出 True ```
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