基本同态定理

TH1 Natural Homomorphism自然同态

• 假设R是广群（G，*）上的一个同余关系
• （G/R，*’）是对应的商广群
• 那么函数f_R：G->G/R 记作f_R(a)=[a]
• f_R是一个满同态，被称为自然同态

这个定理的证明需要两步：1.证明f_R是一个映上（满射）函数。2.证明f_R是从G->G/R的同态

自然同态描述的是以一个同余关系划分的商广群与原来的群之间的关系，所谓的自然是因为他们的映射关系仅仅是通过同余关系来限定的。

TH2 基本同态定理

假设

• f：G–>G’是一个满同态
• R是G上的一个关系定义为任意a，b∈G ，a R b等价于f(a)=f(b)

那么

• R是一个同余关系
• G’与商子群(G/R,*’’)是同构的
• 

什么是基本同态定理？描述的是一个三角关系，群G，商子群G/R，以及一个通过满同态来定义的群G’，其中，最特殊的是G/R与G’之间的同构关系

Normal Subgroup正规子群

• 定义：如果一个子群的左陪集等于右陪集，对于任意G中的元素，那么我们就称这个子群为正规子群

所谓的左陪集，是指，H是G的子群，对于a₁∈G，a₁H是H在G的左陪集之一，在考试当中，有时会考到求出H在G中的所有不同的左陪集

• 需要注意的是，定义中的aH=Ha,并不是意味这，存在h属于H，使得ah=ha，而是存在h和h’，ah=h’a。

TH3 K是关于G的一个有限子群，K关于G的所有左陪集的个数等于K的元素的个数

TH4 （拉格朗日群定理）子群的阶一定是有限群的阶的因数值

这里的阶其实就是指元素的个数

该定理的证明主要用到了定理3，设H是G的子群。H在G的每一个左陪集都是一个等价类。将G作左陪集分解，由于每个等价类的元素个数都相等，都等于H元素的个数，所以G的阶整除H的阶，商为H在G中左陪集的个数记作[G:H]。

|G|=[G:H]*|H|

TH5 等价类与陪集的关系

假设

• R是在G上的同余关系
• H=[e]，一个包含了单位元的等价类

那么

• H是G的一个正规子群
• [a]=aH=Ha，对于所有的a∈G

关于以同余关系划分的等价类与陪集之间的关系，首先我们很容易知道，单位元的等价类是一个正规子群，因为无论是左乘还是右乘单位元，都得到自身，所以满足正规子群的定义，再者，为什么我们要把等价类与陪集联系起来？不就是让我们以陪集的方式划分等价类嘛？如果我们能找到单位元的等价类，他的所有左陪集就是所有的等价类

• (aN)(bN)=[a]*[b]=[ab]=abN
• f_R(a)=aN是从G–>G/R的一个同态因此我们也可以把G/R写作G/N

TH6 同余关系和正规子群

假设

• N是一个关于G的正规子群
• aRb当且仅当a^-1b∈N

那么

• R是一个同余关系
• N是一个以R划分的等价类[e]，e是G里面的单位元

推论

• 假设f是一个同态，由G->G’,
• f的核，ker(f)，记作ker(f)={a∈G|f(a)=e’}

不难理解，一个同态的核是一系列的属于G的元素，这些元素经过f映射后到了G’中成为了单位元，故称其为f的核

• ker（f）是G的正规子群
• 商群G/ker(f)与G’是同态

例：G是一个群，N,H是G的子群，且N是G的正规子群，证明：

1. HN是G的一个子群
2. N是HN的正规子群

证明：

1. 要证HN是G的子群，要整HN满足封闭性，存在单位元以及逆元
   设a属于H，则a也属于G，b属于N，则b也属于G，ab属于G所以HN是G的子群设a属于H，则a也属于G，b属于N，则b也属于G，ab属于G所以HN是G的子群
2. 要证N是HN的正规子群，也就是证任意a∈HN，aN=Na，
   任意a∈HN，a也属于G，N是G的正规子群，所以aN=Na,所以N是HN的正规子群