本文详细证明了同态基本定理，阐述了群的同态映射下像和核的性质。内容包括：同态的像如何构成目标群的子群，核为何是原群的正规子群，以及通过商群构造的同构映射。证明了核与像分别是同态的不变集，并讨论了同态的满射性和单射性。
同态基本定理
设 f:G→G′f:G\to G'f:G→G′ 是群的同态.则 Imf=f(G){\rm Im}f=f(G)Imf=f(G) 是 G′G'G′ 的子群，Kerf={f−1(1)=g∈G∣f(g)=1}{\rm Ker}f=\{f^{-1}(1)={g\in G|f(g)=1}\}Kerf={f−1(1)=g∈G∣f(g)=1} 是 GGG 的正规子群. 并且有群同构
fˉ:G/kerf≅Imf,fˉ(gˉ)=f(g) \bar{f}:G/{\rm ker}f\cong {\rm Im}f,\qquad\bar{f}(\bar{g})=f(g) fˉ:G/kerf≅Imf,fˉ(gˉ)=f(g)
Imf{\rm Im}fImf 和 Kerf{\rm Ker}fKerf 分别叫做同态 fff 的像和核
证明： 先证 Imf{\rm Im}fImf 为 G′G'G′ 的子群.
∀a′,b′∈Imf,∃a,b,s.t.f(a)=a′,f(b)=b′\forall a',b'\in{\rm Im}f,\exist a,b,\qquad s.t.f(a)=a',f(b)=b'∀a′,b′∈Imf,∃a,b,s.t.f(a)=a′,f(b)=b′
- 1G′=f(1G)∈Imf1_{G'}=f(1_G)\in {\rm Im}f1G′=f(1G)∈Imf
- (a′)−1=f(a)−1=f(a−1)∈Imf(a')^{-1}=f(a)^{-1}=f(a^{-1})\in{\rm Im}f(a′)−1=f(a)−1=f(a−1)∈Imf
- a′b′=f(a)f(b)=f(ab)∈Imfa'b'=f(a)f(b)=f(ab)\in{\rm Im} fa′b′=f(a)f(b)=f(ab)∈Imf
所以 Imf{\rm Im}fImf 是 G′G'G′ 的子群
再证 Kerf{\rm Ker}fKerf 是 GGG 的子群
∀a,b∈Kerf,s.t.f(a)=f(b)=1G′\forall a,b\in {\rm Ker }f,\qquad s.t.f(a)=f(b)=1_{G'}∀a,b∈Kerf,s.t.f(a)=f(b)=1G′
- f(1G)=1G′f(1_G)=1_{G'}f(1G)=1G′，所以 1G∈Kerf1_G\in {\rm Ker}f1G∈Kerf
- f(a−1)=f(a)−1=1G′,f(a^{-1})=f(a)^{-1}=1_{G'},f(a−1)=f(a)−1=1G′,所以 a−1∈Kerfa^{-1}\in {\rm Ker}fa−1∈Kerf
- f(ab)=f(a)f(b)=1G′f(ab)=f(a)f(b)=1_{G'}f(ab)=f(a)f(b)=1G′，所以 ab∈Kerfab\in {\rm Ker}fab∈Kerf
所以 Kerf{\rm Ker}fKerf 是 GGG 的子群
再证 Kerf{\rm Ker}fKerf 是 GGG 的正规子群
g∈G,a∈Kerfg\in G,a\in{\rm Ker} fg∈G,a∈Kerf
考虑如下等式关系：
f(gag−1)=f(g)f(a)f(g−1)=f(g)1G′f(g)−1=1G′ f(gag^{-1})=f(g)f(a)f(g^{-1})=f(g)1_{G'}f(g)^{-1}=1_{G'} f(gag−1)=f(g)f(a)f(g−1)=f(g)1G′f(g)−1=1G′
所以 gag−1∈Kerfgag^{-1}\in{\rm Ker}fgag−1∈Kerf，从而 g Kerf g−1⊆Kerfg\ {\rm Ker}f\ g^{-1}\subseteq{\rm Ker}fg Kerf g−1⊆Kerf，从而 Kerf⊆g−1 Kerf g{\rm Ker}f\subseteq g^{-1}\ {\rm Ker}f\ gKerf⊆g−1 Kerf g ,从而 Kerf⊆g Ker g−1{\rm Ker}f\subseteq g\ {\rm Ker}\ g^{-1}Kerf⊆g Ker g−1 ，从而
Kerf=g Kerf g−1{\rm Ker}f=g\ {\rm Ker}f\ g^{-1}Kerf=g Kerf g−1
所以 Kerf{\rm Ker}fKerf 是 GGG 的正规子群
再证明映射 fˉ\bar{f}fˉ 的可定义性
即与 gˉ=g(Kerf)\bar{g}=g({\rm Ker}f)gˉ=g(Kerf) 中代表元选取无关. 因若 g′∈g(Kerf)g'\in g({\rm Ker}f)g′∈g(Kerf) , 则 g′=gk,k∈Kerfg'=gk,k\in{\rm Ker}fg′=gk,k∈Kerf， 于是 fˉ(gˉ′)=f(g′)=f(gk)=f(g)f(k)=f(g)=fˉ(gˉ)\bar{f}(\bar{g}')=f(g')=f(gk)=f(g)f(k)=f(g)=\bar{f}(\bar{g})fˉ(gˉ′)=f(g′)=f(gk)=f(g)f(k)=f(g)=fˉ(gˉ). 其次，易证 fˉ\bar{f}fˉ 为群的同态：
fˉ(gˉ⋅g′ˉ)=fˉ(gg′ˉ)=f(gg′)=f(g)⋅f(g′)=fˉ(gˉ)⋅fˉ(g′ˉ)\bar{f}(\bar{g}\cdot\bar{g'})=\bar{f}(\bar{gg'})=f(gg')=f(g)\cdot f(g')=\bar{f}(\bar{g})\cdot\bar{f}(\bar{g'})fˉ(gˉ⋅g′ˉ)=fˉ(gg′ˉ)=f(gg′)=f(g)⋅f(g′)=fˉ(gˉ)⋅fˉ(g′ˉ)
再证 fˉ\bar{f}fˉ 是满同态：
对每个 a′∈Imfa'\in{\rm Im}fa′∈Imf,有 a∈Ga\in Ga∈G 使得 f(a)=a′f(a)=a'f(a)=a′. 于是 fˉ(aˉ)=f(a)=a′\bar{f}(\bar{a})=f(a)=a'fˉ(aˉ)=f(a)=a′
最后证 fˉ\bar{f}fˉ 是单同态：
若 aˉ,bˉ∈G/Kerf,(a,b∈G)\bar{a},\bar{b}\in G/{\rm Ker}f,(a,b\in G)aˉ,bˉ∈G/Kerf,(a,b∈G)并且 fˉ(aˉ)=fˉ(bˉ)\bar{f}(\bar{a})=\bar{f}(\bar{b})fˉ(aˉ)=fˉ(bˉ), 则 f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b). 于是 f(a−1b)=f(a)−1f(b)=1f(a^{-1}b)=f(a)^{-1}f(b)=1f(a−1b)=f(a)−1f(b)=1.从而 a−1b∈Kerfa^{-1}b\in {\rm Ker}fa−1b∈Kerf. 于是 a(Kerf)=b(Kerf).a({\rm Ker}f)=b({\rm Ker}f).a(Kerf)=b(Kerf).即 aˉ=bˉ\bar{a}=\bar{b}aˉ=bˉ
注：
定理中给出的 fˉ\bar{f}fˉ 叫做正则同构. 如果将 fff 看成 G/Kerf→G′G/{\rm Ker}f\to G'G/Kerf→G′. 则这是单同态,叫做正则(单同态).
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