Leetcode---879 盈利计划+1049. 最后一块石头的重量 II+474. 一和零 动态规划背包问题专场

879 盈利计划

思路

三维背包问题。三个维度分别表示几份、容量限制1、容量限制2。
状态转移方程为
$\{\begin{array}{rlr}& dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k],& j<group[i-1]\\ & dp[i][j][k]=(dp[i-1][j][k]+dp[i-1][j-group[i-1]][Math.max(0,k-profit[i-1])])\%mod,& others\end{array}$

因此得到如下代码，详细解释见代码注释。

代码

public int profitableSchemes(int n, int minProfit, int[] group, int[] profit) {
        int len = group.length;
        int mod = (int)1e9+7;
        //三维分别表示可供选择的工作数量（可选择，也就是对于某些工作可做可不做）、投入多少人（不一定全部用光）、至少可以实现多少利润（大于等于0）
         int[] [] [] dp = new int[len+1][n+1][minProfit+1];
         //处理边界条件
         dp[0][0][0] = 1;

         for (int i=1;i<=len;i++){
             for (int j = 0;j<=n;j++) {
                 for (int k=0;k<=minProfit;k++) {
                     if (j<group[i-1])//如果当前的人数不能做第i份工作，则方案数等于上一份工作的方案数
                         dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k];
                     else//如果可以做第i份工作，则当前工作的方案数等于上一份工作的方案数+上一份工作中满足人数不超过j-group[i-1]（表示多份工作可以一起做）、且利润不少于0的方案数量（利润等于0表示只做了当前工作，大于0表示除了当前工作还做了其他工作）
                        dp[i][j][k] = (dp[i-1][j][k] + dp[i-1][j-group[i-1]][Math.max(0,k-profit[i-1])]) % mod;
                 }
             }

         }

         int sum = 0;
         //统计满足条件的方案数量即在len份工作中，利润不少于miniProfit的方案数量
         for (int j=0;j<=n;j++){
             sum = (sum+dp[len][j][minProfit])%mod;
        }
         return sum;
    }

1049. 最后一块石头的重量 II

思路

可以化简为二维背包问题。两个维度分别表示几块、容量限制。详细解释见代码注释。

代码

public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        int len = stones.length;
        //借助目标和的思想，因为要求能达到的剩余石块的最小重量，所以可以把石头分为两堆，使用一堆的总重量减去另一堆的重量即为剩余的重量，
        //这里把两个堆设为A堆和B堆，其中A堆的重量大于等于B堆的重量
        //为了得到最小的剩余石头重量，两个堆的总重量应该尽可能的接近，最佳情况是相等。
        //此处首先获得最佳的情况（因为石料不可分割，所以这个值可能达不到，但这个是最佳情况）
        int sum = 0;
        for (int i: stones)
            sum += i;
        int t = sum / 2;

        //定义数组，第一个元素指的是参与计算的石块数量，第二个元素指的是当前条件下B堆可以达到的最大重量，如果可以达到，则是true，否则是false
        boolean [][] dp = new boolean[len+1][t+1];
        dp[0][0] = true;


        //从1块石头参与计算开始进行动态规划
        for (int i=1;i<=len;i++)
        {
            for (int j=0;j<=t;j++)
            {
                //如果当前B堆的最大重量大于当前石头的重量,存在两种情况-选或不选,选的话-dp[i-1][j-stones[i-1],不选-dp[i-1][j]
                //因为此时判断的是能不能达到j,所以两种情况有一个可以达到即为可以达到
                if (j>=stones[i-1])
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j-stones[i-1]];
                else
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }

//        for (int i = 0;i<=len;i++)
//        {
//            for (int j=0;j<=t;j++)
//                System.out.print("\t"+dp[i][j] + " ");
//            System.out.println();
//        }
        
        //因为最后求的是B堆可以达到的最大重量,所以从理想情况开始向下遍历,寻找满足条件的最大值
        for (int j=t;j>=0;j--)
        {
            if (dp[len][j])
                return sum-2*j;
        }
        return 0;
    }

474. 一和零

思路

同样是三维背包问题。三个维度分别表示几份、容量限制1、容量限制2。
状态转移方程为
$\{\begin{array}{rlr}& dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k],& others\\ & dp[i][j][k]=Math.max(dp[i][j][k],dp[i-1][j-c[0]][k-c[1]]),& j<=c[0]\&\&k<=c[1]\end{array}$

因此得到如下代码。

代码

public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int len = strs.length;

        //最后判断满足条件的最大元素个数
        int[][][] dp = new int[len+1][m+1][n+1];

        for (int i=1;i<=len;i++)
        {
            int[] c = count_num(strs[i-1]);
            for (int j=0;j<=m;j++)
            {
                for (int k=0;k<=n;k++)
                {
                    dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k];
                    if (c[0]<=j && c[1]<=k)
                        dp[i][j][k] = Math.max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-c[0]][k-c[1]]+1);

                }
            }
        }
        return dp[len][m][n];
    }

    public int[] count_num(String str)
    {
        int[] a = new int[2];
        Arrays.fill(a,0);

        for (char ch : str.toCharArray())
        {
            if (ch == '1')
                a[1]++;
            else
                a[0]++;
        }
        return a;
    }