Acwing 876. 快速幂求逆元

给定n组ai,pi，其中pi是质数,求ai模pi的乘法逆元，若逆元不存在则输出impossible。

注意：请返回在0∼p−1之间的逆元。

乘法逆元的定义

若整数b，m互质，并且b|a，则存在一个整数x，使得a/b≡a∗x(mod m)，则称x为b的模m乘法逆元，记为b^(−1)(mod m)。
b存在乘法逆元的充要条件是b与模数m互质。当模数m为质数时，b^(m−2)即为b的乘法逆元。

输入格式

第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一个数组ai,pi，数据保证pi是质数。

输出格式

输出共n行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若ai模pi的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出impossible。

数据范围

1≤n≤10^5,
1≤ai,pi≤2∗10^9

输入样例：

3
4 3
8 5
6 3

输出样例：

1
2
impossible

费马小定理: 如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^(p-1)≡1(mod p) 因此a mod p的逆元是 a^(p - 2)

求取a^(p - 2) 可以用快速幂求取

逆元能解决类似:(a / b mod p)类型的问题

#include<iostream>
using namespace std;

long long qmi(int a,int k,int p){   // 返回long long
    long long res = 1;
    while(k){
        if (k & 1){
            res = res * a % p;   // 不要写成这样 res *= a % p; 这样写会先计算(a % p) 再乘以res,这样可能会溢出,应该再最后mod p  
        }
        a =  a*(long long)a % p;
        k = k >> 1;
    }
    return res;
}

int main(){
    int n,a,p;
    cin>>n;
    for (int i = 0; i < n; ++i){
        scanf("%d%d",&a,&p);
        if (a % p == 0) puts("impossible");   // 如果a是p的倍数的话,任何一个整数 * a都不可能mod p == 1 只会等于0 
        else printf("%lld\n",qmi(a,p - 2,p));
    }
    return 0;
}