数据结构：伸展树原理及C++实现（自顶向下实现）

前言：

    我现在是一个大二的学生，因为下个学期就要开始学习数据结构这门课程，出于兴趣我提前将数据结构自学了一遍，在学习的过程中发现了许多有趣的结构，最近终于有了一点时间，决定开始写点博客，记录一下自己的想法；这是我第一次写博客，如果有不好的地方欢迎大家指出，我们可以一同讨论共同进步。

原理：

     伸展树(SplayTree)是一种平衡树的结构，是二叉搜索树的一种，他保证从空树开始的任意连续M次对树的操作最多花费O(M logN)时间。虽然与AVL树以及红黑树相比它的时间复杂度似乎要高一些，但是其空间要求以及编程复杂度要更低。接下来，我就来介绍一下伸展树的特性。

    有一种原则叫做叫做"二八原则"，也就是说百分之八十的搜索都发生在百分之二十的数据上，伸展树也就是满足这种需求出现的。为了满足这些需求，伸展树在每一次操作后都会把操作的元素，通过一系列的旋转放置到树的根部(插入，删除，查找)，在图一中，我们可以看到被查找元素被移动到树根。这样，根据二八原则，访问次数更多的元素，总是在离树根更近的地方，也就减少了检索的时间消耗，增加了效率。在我看来，这是一种非常有想法的一种数据结构，也让人印象深刻。 

 

C++实现：

1.旋转操作：

    如果学习过了AVL树，那么你对旋转操作一定不会陌生，在AVL树中旋转被分为了双旋转和单旋转两种情况(当然，双旋转也就是两个单旋转)。而在我们的伸展树中，也将使用到旋转操作，不过与AVL树有点不同。

     旋转操作可以说是平衡树结构中最最最基础的东西了，它是移动节点的一种有效方式，以图二右旋转为例，我们将当前节点( N节点)变为父节点( F节点)，父节点变为当前节点的右儿子，同时将原来的右儿子( S节点)链接到 F节点的左儿子，完成旋转操作。左旋转操作与右旋转操作相同，只是方向相反，这里就不再讲解了。(其实是不想画图了)

下面是我们的实现代码：

/* 右旋转函数:将目标节点向右旋转
 * 返回值:无
 * 参数:Tree:想要进行右旋转的目标节点
 */
void SplayTree::SingleRotateWithLeft(TreeNode &Tree) {
	TreeNode LeftChild; // 储存左子树
	// 进行旋转操作
	LeftChild = Tree->Left;
	Tree->Left = LeftChild->Right;
	LeftChild->Right = Tree;

	Tree = LeftChild; // 更新目标节点
}

/* 左旋转函数:将目标节点向左旋转
 * 返回值:无
 * 参数:Tree:想要进行左旋转的目标节点
 */
void SplayTree::SingleRotateWithRight(TreeNode &Tree) {
	TreeNode RightChild; // 储存右子树
	// 进行旋转操作
	RightChild = Tree->Right;
	Tree->Right = RightChild->Left;
	RightChild->Left = Tree;

	Tree = RightChild; // 更新目标节点
}

PS：有些朋友可能会觉得奇怪，因为这里的旋转代码并没有将父节点与祖父节点链接，难道不会出错吗？不用担心，这是因为伸展树的特殊性，同时也与我们使用的伸展方法有关系，会在后面具体解释。

2. 伸展操作：

        接下来的就是伸展操作，可以说伸展操作是整个伸展树的核心功能，因为所有的功能，都是根据伸展操作进行的(查找，插入，删除)。而伸展操作有两种实现方式。

自底向上伸展：

       这是一种很容易想到的伸展方式，我们通过从树根处开始检索，当我们检索到目标元素时，我们就开始向上伸展，通过旋转的方式将目标元素旋转到树根上。但是，我们可以想到，我们从顶部向下检索的过程中，以及从底部向上伸展的过程中，都需要保存许多的父指针来完成，或将路径储存到某个栈中进行保存，这样讲会带来大量的开销！因此我们更加常用的是另外一个方法——自顶向下伸展。

(有兴趣的朋友可以自己尝试用自底向上方法实现，我在这里就不再多讲了~~)

自顶向下伸展：

        在这里，我们先使用一种叫做标志节点的东西来代替空节点，它的代码如下：

typedef struct SplayNode *TreeNode;
TreeNode NullNode; // 储存空标志节点
N