《数据结构与算法分析》伸展树（自顶向下）详解

前言：

      在完成了自底向上的伸展树之后，我决定把自顶向下的伸展树也做出来。不过这个方式《数据结构与算法分析》书上没讲，完全只能通过自学了。实现的方式比较不容易懂，我在阅读了第二篇博客许多遍之后才明白整个过程。

参考的博客：

 自底向上：

http://www.cnblogs.com/vamei/archive/2013/03/24/2976545.html。我从这一篇博客中学习了不少的新的思想，比如我最开始总想着利用一个函数递归完成插入或者删除操作，却发现其中有一部分的操作不是每个节点都需要的，这个时候可以把删除操作再分出一个子函数来，需要递归的部分由这个子函数完成就行了。这样使得编码简单很多并且易于阅读。

自顶向下：

http://www.cnblogs.com/kernel_hcy/archive/2010/03/17/1688360.html 。这一篇博客写的非常的详细，并且给出了贴图详细讲诉旋转的过程，来源是sedgewick大神的《算法》一书。我根据给出的流程图和伪代码，完全理解之后，用一个小时完成了编码，并且一次测试通过。

我的github：

我实现的代码全部贴在我的github中，欢迎大家去参观。

https://github.com/YinWenAtBIT

介绍：

定义（与上一篇相同）：

         伸展树，或者叫自适应查找树，是一种用于保存有序集合的简单高效的数据结构。伸展树实质上是一个二叉查找树。允许查找，插入，删除，删除最小，删除最大，分割，合并等许多操作，这些操作的时间复杂度为O(logN)。由于伸展树可以适应需求序列，因此他们的性能在实际应用中更优秀。
伸展树支持所有的二叉树操作。伸展树不保证最坏情况下的时间复杂度为O(logN)。伸展树的时间复杂度边界是均摊的。尽管一个单独的操作可能很耗时，但对于一个任意的操作序列，时间复杂度可以保证为O(logN)。
AVLTree的缺点：
1、平衡查找树每个节点都需要保存额外的信息（自底向上的实现方式同样保存了额外信息）。
2、难于实现，因此插入和删除操作复杂度高，且是潜在的错误点。
3、对于简单的输入，性能并没有什么提高。
平衡查找树可以提高性能的地方：
1、平衡查找树在最差、平均和最坏情况下的时间复杂度在本质上是相同的。
2、对一个节点的访问，如果第二次访问的时间小于第一次访问，将是非常好的事情。
3、90-10法则。在实际情况中，90%的访问发生在10%的数据上。
4、处理好那90%的情况就很好了。

自顶向下旋转：

在自底向上的伸展树中，我们需要求一个节点的父节点和祖父节点，因此这种伸展树难以实现或者需要额外的信息。因此，我们可以构建自顶向下的伸展树。
    当我们沿着树向下搜索某个节点X的时候，我们将搜索路径上的节点及其子树移走。我们构建两棵临时的树──左树和右树。没有被移走的节点构成的树称作中树。在伸展操作的过程中：
1、当前节点X是中树的根。
2、左树L保存小于X的节点。
3、右树R保存大于X的节点。
开始时候，X是树T的根，左右树L和R都是空的。和前面的自下而上相同，自上而下也分三种情况：

1、zig情况。

如上图，在搜索到X的时候，要查的节点比X小，并且Y等于要查找的节点（这种方式其实可以合并在zigzag情况之中）。因此Y是下一步要查找的节点，因此Y变成新的中树的树根，X及其右子树被移动到右树上。很显然，右树上的节点都大于所要查找的节点。注意X被放置在右树的最小的位置，即右树最小节点的左孩子指针上。因为X及其子树比原先的右树中所有的节点都要小。这是由于越是在路径前面被移动到右树的节点，其值越大。读者可以分析一下树的结构，原因很简单。

2、zig-zig情况

如图所示：

在这种情况下，所查找的节点在Z的子树中，也就是，所查找的节点比X和Y都小。所以要将X，Y及其右子树都移动到右树中。首先是Y绕X右旋，然后将Z变成新的中树根节点。将Y及其子树移到右树中。注意右树中挂载点的位置。

3、zig-zig情况。
    如图所示：

在这种情况中，先将X及其左子树连接到右树上，然后变成了zag的情况。接下来就可以很轻松的解决了。

合并：

最后，在查找到节点后，将三棵树合并。如图：]

将中树的左右子树分别连接到左树的右子树和右树的左子树上。将左右树作为X的左右子树。重新最成了一所查找的节点为根的树。