素数

素数（prime number）：在大于1的自然数中，除了1和它本身 没有其他约数，这样的数称为素数；否则称为合数

0和1既不是素数也不是合数，最小的素数是2 

素数筛法:

欧拉筛,一些题目n非常大,只能用欧拉筛,复杂度为O(N)

每个合数仅被它最小的质因数筛去

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 1000005
using namespace std;
int prime[MAXN];//保存素数
bool vis[MAXN];//初始化
int cnt;

void getprime(int n)
{
    n=n+1;
	cnt=0;
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=2;i<n;i++)
	{
		if(!vis[i])
            prime[cnt++]=i;
		for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)
                break;
		}
	}
}

埃氏筛法

复杂度为O(n*loglogn) 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MAXN 1000005
#include<algorithm>
using namespace std;

int prime[MAXN];//保存素数
int isprime[MAXN+10];//是否为素数
int cnt;

void getprime(int n)
{
    n=n+1;
    cnt=0;//个数,下标0是第一个
    for(int i=0;i<n;i++)
        isprime[i]=1;
    isprime[0]=isprime[1]=0;
    for(int i=2;i<n;i++){
        if(isprime[i]){
            prime[cnt++]=i;
            for(int j=2*i;j<n;j+=i)
                isprime[j]=0;
        }
    }
}

int main()
{
    int x,y,sum;
    getprime(MAXN);
    scanf("%d%d",&x,&y);
    if(x>y)
        swap(x,y);
    sum=0;
    for(int i=x;i<=y;i++)
        if(isprime[i]==1)
            sum++;
    printf("%d\n",sum);
    return 0;
}

大整数小区间筛法:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MAXN 1000005
using namespace std;
int prime[MAXN];//保存素数
bool vis[MAXN],isprime[MAXN];//初始化
int tot;

void getprime(int n)
{
	tot=0;
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	vis[1]=1;
	for(int i=2;i<n;i++)
	{
		if(!vis[i])
            prime[tot++]=i;
		for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<n;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)
                break;
		}
	}
}

int main()
{
    getprime(100000);
    int cas=1;
    int t,a,b;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        int n=b-a;
        memset(isprime,0,sizeof(isprime));
        for(int i=0;i<tot&&(ll)prime[i]*prime[i]<=b;i++)
        {
            int j=0;
            if(a%prime[i]!=0)
                j=prime[i]-a%prime[i];
            if(a<=prime[i])
                j+=prime[i];
            for(j;j<=n;j+=prime[i])
                isprime[j]=1;
        }
        int ans=0;
        for(int i=0;i<=n;i++)
            if(!isprime[i])
                ans++;
        if(a==1)//注意1不是素数
            ans--;
        printf("Case %d: %d\n",cas++,ans);
    }
    return 0;
}

反素数:

• 对于正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如 g(1)=1、g(6)=4。 
• 2.如果某个正整数x满足：对任意正整数 i(0<i<x)，都有g(x)>g(i)，那么 称x为反素数

考虑 x 是小于 n 的最大的反素数的情况:

• x一定是 小于n的 约数最多的数
• 2.当约数个数相同时，x一定是最小的数

反素数 ? = ?1 ?1?2 ?2 …?? ?? 的两个性质:

• 质因子 ?1, ?2, …, ?? 是从2开始连续的素数
• 质因子的指数递减 ?1 ≥ ?2 ≥ ?3 … ≥ ?? 

n的约数

题意:即求因子最多反素数

ac:

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll cnt,n,ans;
ll prime[17]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,51};

void dfs(int pos,int len,ll q,int num)//第pos个素数,前一位素因子指数len,ans当前因子个数,q为该数的值
{
    if(num>cnt||(num==cnt&&q<ans))
    {
        cnt=num;//因子数目
        ans=q;  //反素数数
    }
    ll g=1;
    for(int i=1;i<=len;i++)
    {
        g=g*prime[pos];
        if(n/g<q)
            break;
        dfs(pos+1,i,q*g,num*(i+1));
    }
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        cnt=0;
        scanf("%lld",&n);
        dfs(1,30,1,1);
        printf("%lld\n",cnt);
    }
    return 0;
}

快速判断是否为素数(数很大):

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
typedef unsigned long long ll;
using namespace std;
 
ll add_mod(ll a,ll b,ll mod){
    ll ans=0;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(ans+a)%mod;
        a=a*2%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
 
ll pow_mod(ll a,ll n,ll mod){
    if(n>1){
        ll tmp=pow_mod(a,n>>1,mod)%mod;
        tmp=add_mod(tmp,tmp,mod);
        if(n&1) tmp=add_mod(tmp,a,mod);
        return tmp;
    }
    return a;
}
 
bool Miller_Rabbin(ll n,ll a){
    ll d=n-1,s=0,i;
    while(!(d&1)){
        d>>=1;
        s++;
    }
    ll t=pow_mod(a,d,n);
    if(t==1 || t==-1)
        return 1;
    for(i=0;i<s;i++){
        if(t==n-1)
            return 1;
        t=add_mod(t,t,n);
    }
    return 0;
}
 
bool is_prime(ll n){
    ll i,tab[4]={3,4,7,11};
    for(i=0;i<4;i++){
        if(n==tab[i])
            return 1;
        if(!n%tab[i])
            return 0;
        if(n>tab[i] && !Miller_Rabbin(n,tab[i]))
            return 0;
    }
    return 1;
}
 
int main(){///快速判断是否为素数
    ll n;
    scanf("%lld",&n);
        if(is_prime(n))
            printf("yes\n");
        else printf("no\n");
 
    return 0;
}