幂平均不等式，幂平均不等式加权形式

 

讨论幂平均不等式我们先了解一个幂函数

性质 \\  函数    y = f(x) = x^(q/p)   (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)

值域	(0 , +∞)   f(x) ＞ 0
一阶导数	(q/p)*x^( (q-p)/p )
二阶导数	( (q² - pq)/p² )*x^( (q - 2p)/p )
p＞q＞0	图像性质     凸函数
0＞p＞q	图像性质     凹函数
p＞0 , q＜0	图像性质     凹函数

 

利用函数  y = f(x) = x^(q/p)   (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0) 的性质结合Jensen不

等式来证明幂平均不等式。

回顾Jensen不等式：

Ai ≥ 0时 且 A1 + A2 + ...... + An = 1

若函数f(x)是凹函数则有：

f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≤ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn)   n≥1

若函数f(x)是凸函数则有：

f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≥ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn)   n≥1 

等号成立条件 X1 = X2 = ...... = Xn

 

下面根据Jensen不等式分情况讨论 函数y = f(x) = x^(q/p)   (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)

当  0＞p＞q 与 p＞0 , q＜0时  函数y = f(x) = x^(q/p)   (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)为凹函数

设Xi , Ci ＞ 0  

即：[ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(q/p)

≤  (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn)

不等式两边同时 1/q 次方

[ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/p)

≥ [  (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/q)

 

当 p＞q＞0时 函数y = f(x) = x^(q/p)   (x＞0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)为凸函数

即：[ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(q/p)

≥  (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn)

两边同时1/q次方

[ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/p)

≥ [  (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/q)

 

综上考虑若p＞q总有：

[ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/p)

≥ [  (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/q)

等号成立条件X1 = X2 = ...... =Xn     

幂平均不等式加权形式得证

 

对于一般形式的证明只需要C1 = C2 = ...... = Cn = 1即可

既有：

[ (X1^p + X2^p + ...... + Xn^p) / n]^(1/p)

≥ [  (X1^q + X2^q + ...... + Xn^q) / n ]^(1/q)

以上就是对幂平均不等式一般形式和加权形式的论证