递归和动态规划——斐波那契数列

最新推荐文章于 2024-03-25 06:29:04 发布

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本文深入探讨了斐波那契数列的多种计算方法，包括暴力递归、迭代计算及矩阵快速幂算法，重点讲解如何通过矩阵运算将时间复杂度降至O(logN)，并提供了详细的代码实现。

《程序员代码面试指南》CHAPTER 4

斐波那契数列

感受：mulMatrix函数和matrixPower函数写法要注意细节，需要牢记加速矩阵乘法的算法思路将时间复杂度降低！！

暴力递归，O(2^N)

int f1(int n){
	if(n < 1)
		return 0;
	if(n == 1||n == 2)
		return 1;
	return f1(n - 1) + f1(n - 2);

从左到右依次顺序计算，O(N)

int f2(int n){
	if(n < 1）
		return 0；
	if(n == 1||n ==2)
		return 1;
	int res = 1,pre = 1,tmp = 0;
	for(int i = 3; i <= n; i++){
		tmp = res;
		res = res + pre;
		pre = tmp;
	}
	return res;
}

利用矩阵，O(log N)

牛客上：

给出一个整数 n，请输出斐波那契数列的第 n 项对 1e9 + 7 取模的值。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int mod=1e9 + 7;
vector<vector<long>> mulMatrix(vector<vector<long>> m1,vector<vector<long>> m2){
    vector<vector<long>> res(m1.size(),vector<long>(m2[0].size(),0));
    for(int i =0;i<m1.size();i++){
        for(int j=0;j<m2[0].size();j++){
            for(int k=0;k<m1[0].size();k++)
                res[i][j]=(res[i][j]+(m1[i][k]*m2[k][j])%mod)%mod;
        }
    }
    return res;
}
vector<vector<long>> matrixPow(vector<vector<long>> base, long n){
    vector<vector<long>> res(base.size(),vector<long>(base.size(),0));
    for(int i=0;i<base.size();i++)
        res[i][i]=1;
    for(;n!=0;n>>=1){
        if((n&1)!=0)//相应位上是1
            res=mulMatrix(base,res);
        base=mulMatrix(base,base);
    }
    return res;
}

int main(){
    long n;
    cin>>n;
    if(n<1){
        cout<<0;
        return 0;
    }
    if(n==1||n==2) {
        cout << 1;
        return 0;
    }
    vector<vector<long>> base={{1,1},{1,0}};
    vector<vector<long>> res=matrixPow(base,n-2);
    cout<<(res[0][0]+res[0][1])%mod;
    return 0;
}

补充问题

跳台阶
初始项不同而已，1，2，3，。。。

int main(){
    long n;
    cin>>n;
    if(n<1){
        cout<<0;
        return 0;
    }
    if(n==1||n==2) {
        cout << 1;
        return 0;
    }
    vector<vector<long>> base={{1,1},{1,0}};
    vector<vector<long>> res=matrixPow(base,n-2);
    cout<<(2 * res[0][0]+res[0][1])%mod;
    return 0;
}
//nowcoder上需要mod 1e9+7

补充问题2

奶牛
C(n) = C(n-1)+C(n-3)
初始项1,2,3…

int main(){
    long long n;
    cin>>n;
    if(n<1){
        cout<<0;
        return 0;
    }
    if(n==1||n==2||n==3) {
        cout << n;
        return 0;
    }
    vector<vector<long>> base={{1,1,0},{0,0,1},{1,0,0}};
    vector<vector<long>> res=matrixPow(base,n-3);
    cout<<(3*res[0][0]+2*res[1][0]+res[2][0])%mod;
    return 0;
}