动态规划之序关系计数问题（同时介绍了递推解法）

问题描述：用关系 " $<$ "和 " $=$ "将3个数 $A、B、C$依序排列时，有13种不同的序关系： $A=B=C，A=B<C，A<B=C，A<B<C，A<C<B，A=C<B，B<A=C，B<A<C，B<C<A，B=C<A，C<A=B，C<A<B，C<B<A$。若要将 $n$ 个数依序进行排列，试设计一个算法，计算出有多少种不同的序关系（是计算数目，不是给出各种排列）。要求算法的空间复杂性为 $O(n)$，时间复杂性为 $O(n^2)$。

若用 $A[i,j]$ 表示用 $j$ 个" $<$ "号连接 $i$ 个数时产生的不同序关系数，并约定当 $j>i-1$ 时， $A[i,j]=0$ ,另外显然 $A[i,0]=1,i\in [1,n]$ 。

$A[i,j]=(j+1)(A[i-1,j-1]+A[i-1,j])$

考虑 $i$ 个数是由 $i-1$ 个数增加一个 $x$ 得到的，则分为两种情况: ①增加 $x$ 之前有 $j-1$ 个 " $<$ " ; ②增加 $x$ 之前有 $j$ 个 " $<$ "。另外， $x$ 有 $j+1$ 种可能性，这是因为，若把相等数视为同一个数，则 $j$ 个 “$<$” 的连接 $i$ 个数的情况为： $S_1<S_2<\cdots <S_{j+1}$，其中 $S_k$ 是所有数值等于 $x_k$ 的数的集合。

//动态规划法
import java.util.Scanner;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        int n=sc.nextInt();
        int[][] dp=new int[n+1][n+1];
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<=i-1;j++){
                if(j==0){
                    dp[i][0]=1;
                }else{
                    dp[i][j]=(j+1)*(dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j]);
                }
            }
        }
        int sum=0;
        for(int i=0;i<=n;i++){
            sum+=dp[n][i];
        }
        System.out.println(sum);
    }
}
//递推法
int  Orderings( int  n)
 {
    A[0]=1;
    for(int j=1;j<=n-1;j++)
      A[j]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
      for(int j=i-1;j>=1;j--)
        A[j]=(j+1)*(A[j-1]+A[j]);
    int total=0;
    for(int j=0;j<=n-1;j++)
       total+=A[j];
 return total;
}   
递推法，复杂度不满足题目要求：
简单的说就是：存在K，使得a1=a2=a3=a4...ak<ak+1....an成立。以<为分界线。后面的那一部分是子问题。
选取K个数的组合数为C（n,k）=c(n-1,k-1)+c(n-1,k);
这是高中的知识，就是说n个人中有一个特例，c(n-1,k-1)表示这个人一定在其中，c(n-1,k)表示这个人不选中。
加上后面的子问题退出递推式为g(n),g(n)表示N个数时的序关系数。g(n)=∑C(n,k)*g(n-k)   k from 1 to n。
其实组合问题本来就是一个递归，你要求最后面的值你就得先求前面的值，这也是动态规划的思想之一

递推法代码实现的巧妙之处：代码先计算出 $i=2$ 时对应的 $A[j]$，当 $i=3$ 时，代码 $A[j]=(j+1)\ast (A[j-1]+A[j])$中，右侧 $A[j]$ 对应的时上一步的结果（ $i=2$ ）时，因此得到的当前步（ $i=3$ ）的结果，以此类推。