Catalan numbers

最新推荐文章于 2022-07-30 19:10:56 发布

vergram

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分类专栏： dsa 文章标签： Catalan numbers

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本文详细介绍了Catalan数的概念及其在不同场景中的应用，特别是如何利用Catalan数解决LeetCode上的不同二叉搜索树问题。文章还探讨了Catalan数的计算方法及其背后的数学原理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Catalan numbers

标签（空格分隔）：算法

前言

第一次看到 Catalan 数是 leetcode 中的不同的二叉搜索树自己做了一阵的树的简单题，来做中等题的时候尝试一下通过率比较高的，没想到也还是完全没有头绪。一查发现原来是 Catalan 数，网上都说学计算机的不会卡特兰数都不好意思说是学计算机的，那我还真的不好意思说自己是学计算机的。就赶紧补一下

问题由来

在一个 n * n 的方格地图中，从一个角到另一个角，不跨越对角线的路径数有多少
方格地图图例

思路

假设从 (0, 0) 开始走到 (n, n) 这里每一步只可以有两种走法，U(向上) 或者 R(向右) 。

直接去思考这个问题的答案好像很困难，且没有头绪，那么不妨绕一点远路。首先来求从 (0, 0) 到 (n, n) 一共有多少种走法，显然，是 C(2n, n) 。进而减去那些跨越过了对角线的不合法路径，即：

Total - Above Diagonal

方法

那么 Above Diagonal ，这个怎么求呢。

嘿嘿嘿，那些伟大的数学家已经替我们想出来了，来观察那些越过了对角线的非法路径

从他们越过了对角线的第一步开始，对他们原本后半段路径画出镜面路径（向上变成向右，向右变成向上），如图中的 粉红色 和蓝色，深紫色 和红色，然而不是巧合（你可以自己去试试），镜面路径的终点都从原来的 (n, n) 变成了 (n - 1, n + 1) 。这意味着什么呢，这意味着 所有的非法路径都可以看成是所有从 (0, 0) 到 (n - 1, n + 1) 的路径映射

那么，我们其实就把 Above Diagonal 求出来了，它就是 C(2n, n + 1)

而卡特兰数就是 Cn = C(2n, n) - C(2n, n+1)

经过化简后的一般形式为：

卡特兰数一般项公式

也满足递推关系：

递推关系

更快速的计算方法：

更快速的计算方法

应用

卡特兰数有着相当多的应用，在这里对应一开始的出发点 leetcode 中的不同的二叉搜索树，简单地套公式可得：

public class Solution {
    public int NumTrees(int n) {

        // 利用卡特兰数递推公式计算

        if(n < 2) return 1;

        long cn = 1;
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            cn = 2 * cn *(2 * i + 1) / (i + 2);
        }
        return (int)cn;
    }
}