3. Catalan Number

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本文详细介绍了卡特兰数这一重要的数列在组合数学中的应用，包括括号化方案、出栈序列、凸多边形三角划分、二叉搜索树的构建、括号匹配数目及方格路径数等问题，并提供了计算卡特兰数的C++代码。

3. Catalan Number

卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名，其前几项为（从第零项开始） : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

Formula:

卡特兰数Cn满足以下递推关系 [1] ：

C[n + 1] = C[1]C[n] + C[2]C[n-1] + ……+ C[n]C[1]

${\color{Red} C[n] = \textrm{C}_{2n}^{n}/(n + 1){\color{Red} }}$

Application:

1.括号话

P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

2.出栈次序

一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

3.凸多边形的三角划分

4.给定节点组成二叉搜索树

前序遍历是123...n，有多少中序遍历，本质上中序遍历就是出栈进栈的过程

5.n对括号正确匹配数目

给定n对括号，求括号正确配对的字符串数，例如：

0对括号：[空序列] 1种可能

1对括号：() 1种可能

2对括号：()() (()) 2种可能

3对括号：((())) ()(()) ()()() (())() (()()) 5种可能

那么问题来了，n对括号有多少种正确配对的可能呢？

考虑n对括号时的任意一种配对方案，最后一个右括号有唯一的与之匹配的左括号，于是有唯一的表示A(B)，其中A和B也是合法的括号匹配序列

假设S(n)为n对括号的正确配对数目，那么有递推关系S(n)=S(0)S(n-1)+S(1)S(n-2) +...+S(n-1)S(0)，显然S(n)是卡特兰数。

6.从 n * n 方格的左上角移动到右下角不升路径数

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
    unsigned long long ctl[110],i,j,k,n;
    memset(ctl,0,sizeof(ctl));
    ctl[0]=ctl[1]=1;
    ctl[2]=2;
    scanf("%d",&n);
    for(i=3;i<=n;++i)
        for(j=0;j<i;++j){
            ctl[i]+=ctl[j]*ctl[i-j-1];
            ctl[i]%=100;
        }
    printf("%d\n",ctl[n]);
    return 0;
}