数据结构浅浅析之（三）——树（Tree）（上篇——基础知识 附C++代码）

目录

一.引言

二.基础知识

 树（tree）的定义

在任意一棵非空树中存在以下特性：

注意几点：

结点的分类

结点间的关系

其他相关概念

线性结构和树结构的比较

三.最简单的树——二叉树（Binary Tree）

满二叉树

完全二叉树

二叉树的遍历

         1.前序遍

         2.中序遍历

3.后序遍历

4.层次遍历

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一.引言

        俗话说：“十年树木，百年树人”，可一棵参天大树又何止十年光阴。不管是绿荫一圆的小苗亦或是天然氧吧的“绿肺”，都是从小到大，从根到茎，从茎到叶一步步成长起来的。所以，“珍爱“生命”，不乱砍乱伐”。言归正传，本篇文章将浅析一种新的数据结构——树（tree）。

之前我们所浅析的不管是线性表，还是栈，亦或是队列，都是一种一对一的线性结构，可现实中，还存在一对多的数据需要处理，所以我们以一种新的数据结构——树（tree）来解决此类问题。

二.基础知识

•  树（tree）的定义

•   树（tree）是n(n>=0)个ji结点的有限集合。当n = 0时我们称之为空树。

                                                                                                  树 

• 在任意一棵非空树中存在以下特性：

• 有且仅有一个特定的根节点（Root）

• 当n > 1时，其余结点可分为m（m > 0）个互不相交的有限集T1、T2、……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为树的子树（SubTree），如图所示：

                                                                                                                子树 

子树T1和T2属于树A的子树，同时，D，G,H,I组成的树又是B为结点的子树。 

• 注意几点：

        1.当n > 0 时根节点是唯一的，不可能存在多个根节点，只存在唯一的一个根节点。

        2.当m > 0 时，子树的个数没有限制，但他们一定是相互不相交的。如图所示的结构就不符合树的定义，因为他们相交有xi相交的子树。

                                                                                        相交的结构不构成树 

• 结点的分类

        树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度（Degree）。度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根节点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。如下图所示，因为这棵树结点的度的最大值是结点D的度，为3,则树的度也是3。

                                                                                      结点的分类 

• 结点间的关系

        节点的子树的根称为该结点的孩子（Child），相应的，该结点称为孩子的双亲（Parent）。（父母同体）。同一个双亲的孩子之间互称兄弟（Sibbling）。结点的祖先是从根节点到该结点所经分支上的所有结点。所以对于结点H来说，D、B、A都是它的祖先。如图所示：

                                                                                                               结点间关系 

• 其他相关概念

              结点的层次（Level）从根节点开始定义，根为第一层，根的孩子为第二层。其双亲在同一层的结点互称为堂兄弟。如下图中的D、E、F为堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度，当前树的深度为4。

                                                                                             树的层次 

如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则为无序树。

森林（Forest）是m ( m > = 0 )棵树互不相交的树的集合。

• 线性结构和树结构的比较

线性结构	树结构
第一个数据元素：无前驱 最后一个数据元素：无后继 中间元素：一个前驱，一个后继	根节点：无双亲，唯一 叶结点：无孩子，可以多个 中间结点：一个双亲多个孩子

三.最简单的树——二叉树（Binary Tree）

         二叉树（Binary Tree）是n(n >= 0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（空二叉树），或者由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

• 二叉树的特点

•  每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。

• 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒

• 即使树中某结点至右一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树

• 满二叉树

        在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

                                                                                                                  满二叉树 

• 完全二叉树

      对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(1<i<n)的结点与同样深度的满二叉树中的编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

                                                                                                             完全二叉树 

• 二叉树的遍历

      二叉树的遍历（traversing binary tree）是指从根节点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有的结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

      1.前序遍历

若二叉树为空，则返回，否则先访问根节点，然后前序遍历左子树，在前序遍历右子树。如图的遍历顺序为：ABDGHCEIF。

                                                                                                               前序遍历 

     2.中序遍历

若二叉树为空，则返回，否则从根节点开始（注意并不是先访问根节点），中序遍历根节点的左子树，然后是访问根节点，最后中序遍历右子树。如图的遍历顺序为：GDHBAEICF

                                                                                                                中序遍历 

3.后序遍历

    若二叉树为空，则返回，否则从左至右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后访问根节点。如图所示遍历顺序为：GHDBIEFCA。

                                                                                                                 后序遍历 

4.层次遍历

    若树为空，则返回，否则从树的第一层开始访问，在同一层中，按从左至右的顺序对结点逐个进行访问。如图所示遍历顺序为：ABCDEFGHI。

                                                                                                               层次遍历

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