移动构造函数_解题策略一——“构造函数”巧解题

有些数学试题如果按常规思路、惯有方法去解答有可能非常繁琐，甚至举步维艰．比如：在学习函数时，我们注意到一些题目明显是考查函数的相关知识的。但是，还有些题目，表面看似乎与函数无关，但仔细体味却是考察用函数的观点解决问题．如果在做题时能根据问题的特点，引导学生通过构造恰当的函数，把问题转化为某种函数的问题．利用函数图像这一解题策略去解答就会取得意想不到的收效．

下面通过几例让我们感受这种方法的奇妙与简捷：

例1 若m、n(m＜n)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根，且a＜b、则a、b、m、n的大小关系是( )．

A .m＜a＜b＜n B .a＜m＜n＜b＜ C.a＜m＜b＜n D.m＜a＜n＜b

分析：很多数学问题本身并无明显的函数关系，但经过仔细分析后可以找到或构造一个函数，通过对此函数的研究，运用函数的有关性质打通解题思路.鉴于此想法本题可以采用下面两种方法：

方法1：画出y=1和y=(x-a)(x-b)两函数图像.

方法2：画y=(x-a)(x-b)再把y=(x-a)(x-b)向下移动1个单位与x轴的交点的横坐标就是m和n.

从上面两图像都能很容易的看出m、n、a、b的大小关系，得到答案A.

例2：已知方程m x2-(2m+1)x+m-2=0(m＞0)有两个实数解，一个解小于-1，另一个解大于-1，求m的取值范围.

分析：方程的解可以看做使函数的值为0时x的解，这样就可以利用函数的观点来研究方程的问题了.

设两根分别为x1和x2，构造函数y=m x2-(2m+1)x+m-2.其与x轴交点的横坐标为x1和x2.并且满足x1＜-1＜x2.于是画出图像如下图.因为当x=-1是y＜0，所以m x2-(2m+1)x+m-2 m x2-(2m+1)x+m-2＜0．解得m＜1/4,所以0＜m＜1/4.

二次函数和一元二次方程关系密切，用二次函数来研究一元二次方程体现了“数”的问题可以转化为“形”的问题去解决．对于培养学生的数形结合思想是有所裨益的．

例3：方程2x-x2=2/x的正根的个数是( )．

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

分析：此题如果通过解方程进行求解运算，就会出现3次方程。解答很困难，相反如果通过构造函数，利用函数图像去解就会比较简单．即构造并画出函数y=2x-x2和y=2/x的图像就能直观的观察分析出答案是A．

例4：方程x2-x-5/4=1/x的实数根的个数是( )．

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

分析：画出函数y=x2-x-5/4和y=1/x的图像后,可观察分析出答案为B

在用函数观点解决问题时，图像起着重要的作用，他把数与形紧密结合起来．通过数与形转化使代数问题得到几何解释．数形结合思想在这里得到完美体现．

例5：当0≤n≤4时，求m=2n2-4n-6中m的取值范围．

分析：看到此题绝大多数学生的想法是：把0和4代入m=2n2-4n-6中求出所对应的m值分别为-6和10．从而得到m的取值范围是-6≤m≤10．而事实上-6和10根本不是m所求范围的上下限．这里学生之所以会犯这样“想当然”的错误就是对m所求范围缺乏直观的感知．如果能画出图形学生就会对所犯错误一目了然．正确答案也就呼之即出了．为此联想到二次函数，通过画出二次函数的图像．同学便能得到下面正确的解法：

把m=2n2-4n-6看做二次函数，求得其顶点为(1，-8)后画出其图像如下：

从图像学生很容易看到当n=0时，m=-6并不是最小值．

而当n=1时m才取得最小值是-8.

由此学生会深刻的感受到利用二次函数的图像来解决问题所带来的优越性与深刻性．

在初中阶段，对函数的解析式、图像与性质等知识的考查早已成为各级各类考试命题的热点．对于函数知识的考查笔者认为可分为显性与隐性两种形式．所谓显性的考查，就是学生一眼就能看出是在考查某类函数的相关知识．而对于隐性的考查学生就不一定一眼能识别出来了．如果学生能准确分析、识别出是考察函数知识，并能灵活、恰当的构造、设计出相关函数，利用函数的观点与策略，完成解题过程就是学生已具有一定能力的标志．更是学生辩证思维能力的一种体现．