拓展欧几里得（Exgcd）

最新推荐文章于 2024-08-19 20:44:51 发布

xiehaoxuan

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分类专栏：数论与数学方法

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本文介绍了拓展欧几里得算法（Exgcd），用于求解线性同余方程ax ≡ b (mod m)的一组整数解。通过理解欧几里得原理并进行迭代计算，可以得到x和y的值。通过举例说明了算法的使用过程，详细解析了一道例题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

求 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一组整数解 $x_{1}$ 、 $y_{1}$ （ $a$ 、 $b$ 为常数）

首先： $ax_{1}+by_{1}=gcd(a,b)$ ；

由 $gcd(a,b)=gcd(b,a$ $mod$ $b)$ 。

（求解最大公约数的欧几里得算法中，我们就是利用这一原理迭代的，这里用到的是对欧几里得原理的理解）

则： $bx_{2}+(a$ $mod$ $b)y_{2}=ax_{1}+by_{1}$

即： $bx_{2}+(a-b*(a/b))y_{2}=ax_{1}+by_{1}$ （注意“ $/$ ”为整除）

则： $ay_{2}+b(x_{2}-ay_{2}/b)=ax_{1}+by_{1}$

又 $\because gcd(a,b)=1$

$\therefore\left\{\begin{matrix} x_{1}=y_{2} & & \\ y_{1}=ay_{2}/b & & \end{matrix}\right.$

所以只需不断迭代，求出最终的 $y_{2}$ ，即可求出 $x_{1}$ ，从而求出 $y_{1}$ .

详见一道例题：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_39872717/article/details/78287843

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