同余方程 解题报告

同余方程【NOIP2012提高组DAY2】

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Description

求关于 x的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

Input

输入文件名为 mod.in。
输入只有一行，包含一个正整数a，b,用一个空格隔开。

Output

输出文件名为 mod.out。
输出只有一行，包含一个正整数X0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

Sample Input

3 10

Sample Output

7

Hint

对于40%的数据，2 ≤b≤1,000；
对于60%的数据，2 ≤b≤50,000,000；
对于100%的数据，2 ≤a, b≤2,000,000,000。

这一题是一道典型的扩展欧几里得算法的题，以样例为例我们分析下扩展欧几里得。

ax与1同余，即ax mod b=1，那么显然ax-by=1；

所以对于样例，3x-10y=1;

根据扩展欧几里得ax+by=bx+(a mod b)y，所以-10x1+3y1=1;

重复上述过程，3x2-y2=1;

可见y的系数已是-1，易得一组解(1,2)；

把y2的值传回给x1，得y1=7；

把y1的值传回给x，得答案为7.

因此总的过程就是：

1、将原方程化为ax+by=1的形式；

2、不断递归ax+by=bx+(a mod b)y的过程，直至yi的系数为-1；

3、当yi的系数为-1时，得出mxi-yi=1的一组解为(1,m-1)，重复将yi传回给上一层的xi-1直至传到x，得出答案。

（代码有n==0的情况，因为a mod b可能等于0）

具体证明这里不给出，大家可以另行查资料。

代码：

#include
using namespace std;
	int a,b;
long long gcd(long long m,long long n,bool p)
{
	if (n==-1) return (m-1);
	if (n==0) return 0; //这里是yi系数等于0的情况
	if (p) return gcd(n,m%n,false);
	return (1-m*gcd(n,m%n,false))/n;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&a,&b);
	long long ans=gcd(a,-b,true);
	printf("%I64d",ans);
}