松子茶的专栏

离散数学的定义及其在各学科领域的重要作用。离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，

在某些代数系统中存在着一些特定的元素,它们对于系统的一元或二元运算起着重要的作用,例如二元运算的单位元和零元。在定义代数系统的时候,如果把含有这样的特定元素也作为系统的性质,比如规定系统的二元运算必须含有单位元，这时称这些元素为该代数系统的特异元素或代数常数。有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统,也可以把这些代数常数列到系统的表达式中,例如<Z,+>中的+运算有单位元0,为了强调0的存在,可以将<Z,＋>记做<Z,＋,0>。又如<P(S),∪,∩,~>中的∪和∩运算存在单位元和S,当规定和S是该系统

熟悉集合的基本概念，并在计算机中用适当的数据结构来表示。集合的表示是集合论的基础，我们可以选择数组和链表这两种常用的数据结构来实现。根据集合的五种基本运算的含义，对参与运算的两个集合做遍历，从而求出其计算结果。关于Discrete Mathematics更多讨论与交流，敬请关注本博客和新浪微博songzi_tea.

#ifndef _BINARYRELATIONHEADER_H_#define _BINARYRELATIONHEADER_H_#define MAX_SIZE 10typedef struct LinkSet{ char ele[MAX_SIZE]; struct LinkSet* next;}LinkSet;static int LinkSetInit(LinkSet*

离散数学是现代数学的一个重要分支，计算机科学与技术一级学科的核心课程，是整个计算机学科的专业基础课。离散数学是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。离散数学是随着计算机科学的发展而逐步建立的，它形成于七十年代初期，是一门新兴的工具性学科。关于Discrete Mathematics更多讨论与交流，敬请关注本博客和新浪微博songzi_tea.

两个事物之间的关系称之为二元关系。在数学上，二元关系指的是这样的一个集合S，它的所有元素都为二元有序对。它反映的是有序对中第一个元素组成的集合与第二个元素组成的集合之间的关系。举个例子，集合S={,} 就表示了中文集合{天秤座,狮子座}与英文集合{libra,leo}之间的对应关系。二元关系可以用集合表示，就像我们上面提到的。而除此之外，还可以用其他数学工具来描述它——矩阵和图。矩阵的基本元素是数

半群与独异点半群与独异点的定义 定义设V=>是代数系统,为二元运算,如果运算是可结合的,则称V为半群设V=>是半群,若e∈S是关于运算的单位元,则称V是含幺半群,也叫做独异点。有时也将独异点V记作V=,e>.例11.1 (1)+,+>,,,,都是半群,+是普通加法。这些半群中除+,+>外都是独异点。

复变函数的研究从Euler开始就有了萌芽，但是真正使其成为一门成熟学科的却是Cauchy，他用的是积分方式研究复函数性质。Weierstrass 也系统研究了复变函数，但是用的是级数方法，而Riemann研究复变函数的方法是几何的方法。后人发现Weierstrass的方法其实可以从 Cauchy和Riemann的方式导出。Cauchy-Riemann方程是用来判断复函数全纯（解析）的核心。尽管Ri

首先从两个集合的笛卡儿积说起。如果A, B 是两个集合，怎么用集合论的语言来定义 A x B？“有序对” 是常用的，但不是最底层的语言。有序对 (a,b) 用集合论的语言可以表示为 {a,{a,b}}。现在有了两个集合的笛卡儿积，就可以定义所谓 “关系”。一个 “从 A 到 B 的关系 R” 是笛卡儿积 A x B 的一个子集。如果 (a,b)属于 R，我们就说 “a 关系到 b”。集合 A 上的

数学定义与物理定义的异同，不是指数学上和物理上的定义之间有区别，而是数学家内部都有争议，物理学家内部也有类似争议。直积的思想背景来自Descartes，因此被称为Descartes积（Cartesian product）。直积有时候称为“完全直积”，以区别于“离散直积”（就是直和）。因此有限个因子的直积就是离散积，因此也就是直和。直和只有在非 Abel范畴情形下才被称为“离散直积”。每个向量空间可

泛函分析（Functional Analysis），现代数学的一个分支，是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。泛函分析是由对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。　　泛函分析是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分

通俗的说，集合的势是量度集合所含元素多少的量。集合的势越大，所含的元素越多。 定理9.1 设A，B，C是任意集合，(1) A≈A。(2) 若A≈B，则B≈A。(3) 若A≈B，B≈C，则A≈C。定义9.2 (1) 设A，B是集合，如果存在从A到B的单射函数，就称B优势于A，记作A·B。如果B不是优势于A，则记作A·B。(2) 设A，B是集合，若A·B且AB，则称B真优势于A，记作A·B。如果B不是真优势于A，则记作A·B。关于Discrete Mathematics更多讨论与交流，敬请关注本博客和新浪微博s

设F为二元关系，若x∈domF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立，则称F为函数(函数也可以称作映射)。对于函数F，如果有xFy，则记作y=F(x)，并称y为F在x的值。 所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上A”。设f：A→B，如果存在y∈B使得对所有的x∈A都有f(x)=y，则称f：A→B是常函数。 称A上的恒等关系IA为A上的恒等函数，对所有的x∈A都有IA(x)=x。关于Discrete Mathematics更多讨论与交流，敬请关注本博客和新浪微博songzi_tea.

本节通过数理逻辑发展史,了解有关的背景，加深对计算机学科的全面了解，特别是理论方面的了解，而不限于将计算机看成是一门技术或工程性的学科。通过重要的历史事件，了解计算机科学中的一些基本思维方式和一些基本问题。关于Discrete Mathematics更多讨论与交流，敬请关注本博客和新浪微博songzi_tea.

数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程，而前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。关于Discrete Mathematics更多讨论与交流，敬请关注本博客和新浪微博songzi_tea.

设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若AB是永真式，则称A与B是等值的。记做AB，称AB是等值式。谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。下面主要讨论关于量词的等值式。基本等值式 第一组 代换实例 由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。关于Discrete Mathematics更多讨论与交流，敬请关注本博客和新浪微博songzi_tea.

集合是不能精确定义的基本概念。直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B.使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题。首先根据已知条件把对应的文氏图画出来。一般地说，每一条性质决定一个集合。有多少条性质，就有多少个集合。如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的，然后将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内。通常从n个集合的交集填起，根据计算的结果将数

作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值，真值只取两个值：真或假。真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。真命题表达的判断正确，假命题表达的判断错误。任何命题的真值都是唯一的。判断给定句子是否为命题，应该分两步：首先判定它是否为陈述句，其次判断它是否有唯一的真值。由于简单命题是真值唯一确定的命题逻辑中最基本的研究单位，所以也称简单命题为命题常项或命题常元。从本节开始对命题进一步抽象，首先称真值可以变化的陈述句为命题变项或命题变元，也用p,q,r,…表示命题变项。当p,q,r,…表示命题变项

每种数字标准形都能提供很多信息，如代数式的因式分解可判断代数式的根情况。逻辑公式在等值演算下也有标准形--范式，范式有两种：析取范式和合取范式。简单合取式和简单析取式定义2.2 命题变项及其否定统称作文字。仅有有限个文字构成的析取式称作简单析取式。仅有有限个文字构成的合取式称作简单合取式。应该注意，一个文字既是简单析取式，又是简单合取式。为方便起见，有时用A1,A2,…,As表示s个简单析取式或s个简单合取式。关于Discrete Mathematics更多讨论与交流，敬请关注本博客和新浪微博songzi_

根据合式公式的真值表与主合取范式与主析取范式的关系来求。在命题逻辑中，合式公式的真值表的应用非常广泛。列合式公式真值表的步骤如下：（1）找出合式公式中出现的所有命题变项。（2）按照二进制的顺序给出命题公式的2n种赋值。（3）对每个赋值按照合式公式的层次求出它的值。所有成真赋值的合取即为主合取范式，所有成假赋值的析取即为主析取范式熟悉真值表定义，并列出合式公式的真值表.关于Discrete Mathematics更多讨论与交流，敬请关注本博客和新浪微博songzi_tea.

在命题逻辑中，五个常用逻辑联结词是最基本的概念，它的计算是后续合式公式值的计算的基础。目的是将五个常用逻辑联结词的计算过程封装成五个函数，并测试简单的公式求值。以便熟悉五个常用逻辑联结词的基本概念，并编程求值。关于Discrete Mathematics更多讨论与交流，敬请关注本博客和新浪微博songzi_tea.

设A为一个公式，若A在任何解释下均为真，则称A为永真式(或称逻辑有效式)。若A在任何解释下均为假，则称A为矛盾式(或永假式)。若至少存在一个解释使A为真，则称A为可满足式。设A0是含有命题变项p1,p2,…,pn的命题公式，A1,A2,…,An是n个谓词公式，用Ai(1≤i≤n)处处代替A0中的pi，所得公式A称为A0的代换实例。关于Discrete Mathematics更多讨论与交流，敬请关注本博客和新浪微博songzi_tea.

设R是A上的关系，我们希望R具有某些有用的性质，比如说自反性。如果R不具有自反性，我们通过在R中添加一部分有序对来改造R，得到新的关系R'，使得R'具有自反性。但又不希望R'与R相差太多，换句话说，添加的有序对要尽可能的少。满足这些要求的R'就称为R的自反闭包。通过添加有序对来构造的闭包除自反闭保外还有对称闭包和传递闭包。关于Discrete Mathematics更多讨论与交流，敬请关注本博客和新浪微博songzi_tea.

由两个元素x和y（允许x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对或序偶，记作<x,y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。设A，B为集合,用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积，记作A×B。 R中所有的有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域，记为domR。R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域，记作ranR。 R的定义域和值域的并集称为R的域，记作fldR。关于Discrete Mathematics更多讨论与交流，敬请关注本博

偶尔在网上看到此篇文章，很受启发，转载过来共勉。线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是