使用Python求解泊松方程

引言

在数学和物理学中，泊松方程(Poisson’s Equation)是一个非常重要的偏微分方程，广泛应用于电磁学、流体力学、引力场等领域。泊松方程的形式如下：$${\nabla }^2\varphi (\mathbf{r})=f(\mathbf{r})$$

其中，${\nabla }^2$ 是拉普拉斯算子，$\varphi (\mathbf{r})$ 是我们要求解的标量场，$f(\mathbf{r})$ 是已知的源项，$\mathbf{r}$ 是空间中的位置。

在这篇文章中，我们将介绍如何使用 Python 中的 magic 库来求解任意维数的泊松方程，既能帮助我们理解泊松方程的求解过程，又能实际操作和解决复杂的物理问题。

泊松方程的背景

泊松方程通常出现在描述物理场的问题中。比如，在静电学中，泊松方程可以用来描述电势分布。已知电荷密度分布(即源项 $f(\mathbf{r})$)，泊松方程可以帮助我们计算相应的电势 $\varphi (\mathbf{r}$)。泊松方程在二维、三维甚至更高维数的问题中都有广泛的应用。

泊松方程的数值求解

我们知道，泊松方程是一个偏微分方程，因此需要在空间网格上进行离散化。对于一个维数 d 的空间，可以通过以下步骤进行离散化：

1. 网格化空间：将空间划分成均匀的网格。
2. 离散化拉普拉斯算子：通过差分方法将拉普拉斯算子离散化。
3. 求解线性方程组：得到一个线性方程组，解该方程组即为我们求解的 $\varphi (\mathbf{r})$。

下面，我们将介绍如何使用 Python 进行泊松方程的求解。

我们将使用有限差分法(FDM)来求解泊松方程。有限差分法是一种将偏微分方程离散化为代数方程的常用方法。我们将从一维和二维的例子入手，逐步介绍其求解过程。

一维泊松方程

首先，考虑一维泊松方程：d2ϕ(x)dx2=f(x)\frac{d^2 \phi(x)}{dx^2} = f(x)