python fft库有哪些_Python图像处理库PIL中快速傅里叶变换FFT的实现（一）

离散傅里叶变换(discrete Fouriertransform)傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。FFT是一种DFT的高效算法，称为快速傅立叶变换(fastFourier

transform)。

在数字图像处理中，FFT的使用非常普遍，是图像处理中最重要的算法之一。在此，我们对FFT算法做一些简单研究，并使用python实现该算法，同时会对图像进行变换分析。

一、FFT算法的原理

FFT算法可分为按时间抽取算法和按频率抽取算法，我们可以从DFT的运算，来FFT的基本原理。

DFT的计算公式如下：

式中

在这两个求和公式中，可以认为x(n)和都是复数，两个复数乘法中，涉及4个乘法和3个加(减)法；再加上累加时的加法，对于每个K值，需要进行4N次实数相乘和(4N-1)次相加。对于N个k值，共需4N*N乘和N(4N-1)次实数相加。如果按照复数来计算的话，对于一个N长的序列，直接计算DFT需要N2次复数乘法以及N(N-1)=N2次复数加法。

由于DFT中的运算量非常大，需要改进DFT算法来减小它的运算量。对于DFT的改进，可以利用DFT中

的周期性和对称性，使整个DFT的计算变成一系列迭代运算，可大幅度提高运算过程和运算量，这就是FFT的基本思想。

FFT基本上可分为两类，时间抽取法和频率抽取法，而一般的时间抽取法和频率抽取法只能处理长度N=2M的情况，另外还有组合数基四FFT来处理一般长度的FFT。常用的FFT是以2为基数，其长度为N=2L。当要变换的序列长度不等于2的整数次方时，是为了使用以2为基数的FFT，可以用末位补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。

本文将只对FFT的时间抽取法进行介绍并编程实现。

二、FFT的时间抽取法

设N点序列x(n)，

，将x(n)按奇偶分组，公式如下图

改写为：

一个N点DFT分解为两个N/2点的DFT，

再对N/2阶的DFT做类似运算，在N为2的幂的情况下，最终可以分解成N/2个2阶的DFT运算。比较原先的DFT运算次数和后面的运算次数，原先的N阶DFT需要N2个复数乘法和加法，后面FFT需要Nlog2N个复数乘法和加法，使用简化蝶形计算更可以减少

个复数乘法。

按时间抽取，将8点DFT计算完全分解的图示如下：

使用蝶形计算8点DFT的图示如下：

三、FFT时间抽取法的实现

1、输入数据倒序

从上图可以看出，蝶形运算可以节省内存。整个计算分为三列，每列计算中的蝶形运算仅影响本蝶形运算的结果，我们可以在每次蝶形运算之后将运算结果存入原存储器中，这样仅需要一列长为N的存储器即