Python图像处理库PIL中快速傅里叶变换FFT的实现（一）

离散傅里叶变换(discrete Fouriertransform)傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。FFT是一种DFT的高效算法，称为快速傅立叶变换（fastFourier transform）。

在数字图像处理中，FFT的使用非常普遍，是图像处理中最重要的算法之一。在此，我们对FFT算法做一些简单研究，并使用python实现该算法，同时会对图像进行变换分析。

一、FFT算法的原理

FFT算法可分为按时间抽取算法和按频率抽取算法，我们可以从DFT的运算，来FFT的基本原理。

DFT的计算公式如下：

式中

在这两个求和公式中，可以认为x(n)和都是复数，两个复数乘法中，涉及4个乘法和3个加（减）法；再加上累加时的加法，对于每个K值，需要进行4N次实数相乘和（4N-1）次相加。对于N个k值，共需4N*N乘和N（4N-1）次实数相加。如果按照复数来计算的话，对于一个N长的序列，直接计算DFT需要N²次复数乘法以及N（N-1）=N²次复数加法。

由于DFT中的运算量非常大，需要改进DFT算法来减小它的运算量。对于DFT的改进，可以利用DFT中

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