matlab在两点之间画二次曲线_那些让你加快解题速度的高中数学公式-6 二次曲线弦长万能公式...

本文介绍本质教育的解题策略,特别是韦卓甫原则,强调掌握速解技巧如‘韦达定理模式’,并以求二次曲线弦长为例,演示如何通过翻译画图法和特定公式加速解题。下周将深入讨论余弦定理和圆锥曲线的应用。投稿分享更多高效公式,赢取奖品。

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本质教育 韦卓甫

对于任何考试(例如高考),本质教育有一条重要的原则:

那些考试拿高分的,一定是简单的题目做得又快又对,这样他们才有时间去思考难题

因此,适当地掌握一些教材中没有提到,但是可以加速解题过程的公式和定理,对提高解题速度,尤其是选择和填空题的解题速度极为有效。今天我们介绍一个关于求二次曲线弦长的万能公式。

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(另外一个类似,可以证明)

这就是泽宇老师在录播课中提到的“韦达定理模式”,解大题的时候,把以上证明过程写出来即可。

接下来我们来看一道例题

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【分析】:

首先,利用本质教育第一招-翻译画图

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这个万能公式能够解决大多数二次曲线的弦长问题!

大家记住了吗?下周我们将会介绍:如何利用余弦定理和圆锥曲线的基本定义求焦点弦。

欢迎持续关注我们的连载!你也可以投稿告诉我们你知道的这类定理和公式,有奖品送出。


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如果你只是想要了解数学三招,例题等,本专栏里有很多干货文章(下方就是目录),请自行观看,就不要加我了,谢谢

### 计算二次贝塞尔曲线及其控制点 对于给定的三个点 \( P_0 \), \( P_1 \), 和 \( P_2 \),可以构建一条通过这些点的二次贝塞尔曲线。这条曲线由起点 \( P_0 \)、终点 \( P_2 \) 和一个中间控制点 \( P_1 \) 定义。 #### 二次贝塞尔曲线方程 二次贝塞尔曲线可以用参数形式表示如下: \[ B(t) = (1-t)^2P_0 + 2(1-t)tP_1 + t^2P_2, \quad t \in [0, 1] \] 这里,\( t \) 是参数变量,在区间 [0, 1] 上变化;当 \( t=0 \) 时,曲线位于起始点 \( P_0 \),而当 \( t=1 \) 时,则处于终止点 \( P_2 \)[^1]。 为了找到合适的控制点 \( P_1 \),使得该曲线经过指定的一个额外点 \( Q \),即已知 \( P_0 \), \( P_2 \) 和 \( Q \),可以通过解下列线性方程组来获得 \( P_1 \): 设 \( Q=B(t_q) \),则有: \[ Q_x=(1-t_q)^2P_{0x}+2(1-t_q)t_qp_{1x}+t_q^2p_{2x} \] \[ Q_y=(1-t_q)^2P_{0y}+2(1-t_q)t_qp_{1y}+t_q^2p_{2y} \] 这是一组关于未知数 \( p_{1x}, p_{1y} \) 的两个独立的一次方程式。如果能够得到具体的 \( t_q \) 值——也就是 \( Q \) 对应于曲线上的哪个比例位置——就可以直接得 \( P_1 \) 的坐标[^2]。 然而,通常情况下并不容易精确得知 \( t_q \) 的具体数值。因此实践中常用的方法是从几何角度出发近似估计这个值,比如利用法或者其他优化算法寻找最佳匹配的位置。 下面是一个简单的 Python 函数用于计算满足条件的控制点 \( P_1 \): ```python import numpy as np def find_control_point(P0, P2, Q): """ Given start point P0, end point P2 and a target point on the curve Q, this function finds an approximate control point P1 that makes the quadratic Bezier pass through Q. Parameters: P0 : array_like or list of two elements representing coordinates of starting point. P2 : array_like or list of two elements representing coordinates of ending point. Q : array_like or list of two elements representing coordinates of desired passing-through point. Returns: tuple containing estimated x,y coordinate values for control point P1. Note: This method uses simple linear interpolation to estimate t value which may not always yield perfect results but works well enough under most circumstances. """ # Convert inputs into NumPy arrays for easier manipulation P0 = np.array(P0) P2 = np.array(P2) Q = np.array(Q) def bezier_equation(t, P0, P1, P2): return ((1 - t)**2 * P0 + 2*(1 - t)*t*P1 + t**2 * P2) # Estimate t based on relative distances between points d_P0_Q = np.linalg.norm(Q - P0) d_P0_P2 = np.linalg.norm(P2 - P0) t_estimated = min(max(d_P0_Q / d_P0_P2, 0.), 1.) # Solve for P1 using least squares minimization approach from scipy.optimize import minimize def objective_function(P1_guess): diff = Q - bezier_equation(t_estimated, P0, P1_guess, P2) return np.sum(diff ** 2) res = minimize(objective_function, x0=[np.mean([P0[0], P2[0]]), np.mean([P0[1], P2[1]])]) P1_optimized = res.x return tuple(P1_optimized) # Example usage: if __name__ == "__main__": P0_example = [0., 0.] # Start Point P2_example = [10., 5.] # End Point Q_example = [7., 3.] # Desired Passing Through Point result = find_control_point(P0_example, P2_example, Q_example) print(f"The optimized control point is at {result}") ``` 此代码片段定义了一个名为 `find_control_point` 的函数,它接收三个二维向量作为输入并返回一个新的二维向量,代表所的控制点 \( P_1 \) 的位置。注意这里的解决方案采用了最优化方法中的最小二乘拟合技术来逼近理想的控制点位置。
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