柯西判别法证明_解析几何中的不等式利器——柯西（Cauchy）不等式

题外话：因为最近开学，更新频率会变低。在期中考试假之际，忙里偷闲写一写最近的感悟。
最近学校开始学解析几何，加之不等式的复习，二者结合碰撞出了炽烈的火花。

数学中所有版块绝不是孤立的，柯西不等式在解析几何中还有如下的运用。

壹.柯西（Cauchy）不等式

先简单介绍一下柯西（Cauchy）不等式。（非竞赛生可以不用理睬这一板块）

这里给出向量形式的证明。（构造二次函数的证明也十分的经典）

记两个

维的向量

，

满足：

写成坐标形式 ：

两边平方得到：

为了看清楚，我们不妨展开看一下：

我们常记为：平方的和的积 大于等于 积的和的平方。

以下我们仅讨论二维形式的不等式，即：

。

贰.柯西不等式与距离

我们常说二次曲线就长了一副柯西的脸。

距离都是平方和的形式，椭圆、圆（平移到原点）都长这个样子 ：

，如同

式左边的形式，如果左边的另一个括号配上常数右边的括号会是

的形式，如同一个直线方程。

下来我们给出更加详尽的说明。

点到直线的距离

点

，直线

。

点到直线的所有连线中，垂线段最短；线段长成为点到直线的距离。

我们设

在直线

上，则

。

则

因为

在

上，所以

，综合上式：

所以

。

这样，几乎没有什么计算量地，我们就算完了距离。

直线到直线的距离

直线

，

。

设

，

为

，

上两点，

。

所以

。

圆（上一点）到直线距离的最值

直线

，圆

记其圆心为

。

设

为

上一点，

。

对圆上

点用柯西：

由此可以解出

。

这样就完全避免了几何分析，用简单的不等式放缩出了答案。

圆（上一点）到圆（上一点）的距离的最值的纯代数证法可以仿照上例，这里不做说明（因为码公式略显复杂）。

椭圆（上一点）到直线的距离的最值

椭圆

，

，设

为

上一点，

。

即可求得

即可继续求解。

实际上这可以理解成圆到直线距离的推广情况，放射变换就说明了圆和椭圆的一种联系。

双曲线（上一点）到直线的距离的最值

双曲线

，

，设

为

上一点，

。

相比前几者，双曲线最特殊，因为其标准方程是差的形式。

这样，最左边等号与最右边等号的

会消掉，

，将

换为

即可求出：

。

再结合

即可求出范围。

叁.柯西不等式与切线

常有一些类似线性规划的题，但是要写具体过程未免显得有些奇怪，这时利用柯西不等式求切线即为严谨的方法。

这类题经常长这样子：

已知：

，求

，

，

等的最值。

上述待求都有明显的几何意义，在此，我们着重讨论

的几何意义。

令

，即

，改变

即为上下平移此直线，直至与曲线相切可取得最值。

若联立考察判别式则会略显复杂，这里看柯西不等式的做法。

圆的切线

圆

，求

的最值。

直接使用柯西：

则

。

椭圆的切线

椭圆

，求

的最值。

直接使用柯西：

则

。

双曲线的切线

双曲线

，求

的最值。

稍微变一变：

，令

由此左右两边的

就被消掉了，

，由此

的范围就出来了。

则

。

可以发现，以上的最值的端值均为这条线为切线时常数项的取值。

另外，我们发现，解决此类问题的方法是第二板块中方法的一部分，第二板块中的距离也可以看为原直线平移成为切线应平移的距离。

自此，我们意识到了柯西不等式的一个几何意义——切线，并得到了一个解决距离问题的利器。

正由于二次曲线的形式，柯西有的放矢，发挥了巧妙重要的作用。