Fibonacci数列(递归)

本文探讨了斐波那契数列在大数值情况下的计算问题,特别是如何高效地求解斐波那契数列第n项除以10007的余数,提供了一种避免直接计算大数的优化方法。

问题描述
Fibonacci数列的递推公式为:Fn=Fn-1+Fn-2,其中F1=F2=1。

当n比较大时,Fn也非常大,现在我们想知道,Fn除以10007的余数是多少。

输入格式
输入包含一个整数n。
输出格式
输出一行,包含一个整数,表示Fn除以10007的余数。
说明:在本题中,答案是要求Fn除以10007的余数,因此我们只要能算出这个余数即可,而不需要先计算出Fn的准确值,再将计算的结果除以10007取余数,直接计算余数往往比先算出原数再取余简单。

样例输入
10
样例输出
55
样例输入
22
样例输出
7704
数据规模与约定
1 <= n <= 1,000,000。

解题思路1:
这个代码运超时,不建议采用

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll fun(int x){
	if(x == 1 || x == 2 ){
		return 1;
	}else{
		return fun(x - 1) + fun(x - 2);
	}
}
int main(){
	ll m;
	cin >>  m;
	cout << fun(m) % 10007;
	return 0;
}

解题思路2:

#include <stdio.h>
#define MAXN 1000001
#define MOD 10007
int n,i,F[MAXN];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	F[1] = 1;
	F[2] = 1;
	for(i = 3; i <= n; i++){
		F[i] = (F[i-1] + F[i-2]) % MOD;	
	}
	printf("%d\n",F[n]);
	return 0;
}
### 斐波那契数列递归实现及其优化 斐波那契数列是一个经典的算法问题,在许多编程练习平台上都有涉及。对于给定的 \( n \),计算斐波那契数列第 \( n \) 项的任务可以通过多种方式完成,其中一种常见的方式就是使用递归来解决这个问题。 #### 基本递归实现 基本的递归实现遵循斐波那契数列的定义: \[ F(n) = \begin{cases} 0 & \text{if } n = 0 \\ 1 & \text{if } n = 1 \\ F(n-1) + F(n-2) & \text{otherwise} \end{cases} \] 下面是一段简单的 C 语言代码来展示如何通过递归计算斐波那契数列中的某一项[^4]: ```c #include <stdio.h> int fibonacci(int n){ if (n == 0) return 0; else if (n == 1 || n == 2) return 1; else return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2); } int main(){ int n; scanf("%d", &n); printf("%d\n", fibonacci(n)); return 0; } ``` 这段程序能够正确地处理输入并给出相应的输出结果。然而,当面对较大的数值时,这种纯递归的方法效率很低,因为它会重复计算相同的子问题多次。 #### 递归加记忆化技术 为了提高性能,可以在递归的基础上加入记忆化的技巧——即存储已经计算过的结果以便后续调用时可以直接读取而不是重新计算。这可以大大减少不必要的运算次数。 下面是改进后的版本,它利用数组 `memo` 来保存之前得到过的值[^3]: ```c #include <stdio.h> #define MAX_N 40 long long memo[MAX_N]; // 初始化备忘录 void init_memo() { for (int i = 0; i < MAX_N; ++i) { memo[i] = -1; } } long long fibo_with_memoization(int n){ if (n <= 1) { return n; } // 如果已经有记录,则直接返回 if(memo[n]!=-1){ return memo[n]; } // 否则先算出来再存进去 memo[n]=fibo_with_memoization(n-1)+fibo_with_memoization(n-2); return memo[n]; } int main(){ init_memo(); int n; scanf("%d",&n); printf("%lld\n",fibo_with_memoization(n)); return 0; } ``` 此方法显著提高了大数情况下求解的速度,并且保持了原生递归逻辑上的清晰度。
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