欧拉公式的证明

求证

\[e^{ix}=cos(x)+isin(x)\]

证明

设\(z=x+iy\)，则有\(\frac{e^z}{e^x}=e^{iy}\)。
牛顿幂级数展开式如下
\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\]
用幂级数展开式展开\(e^{iy}\)得到
\[\frac{e^z}{e^x}=e^{iy}=1+iy-\frac{y^2}{2!}-\frac{iy^3}{3!}+\frac{y^4}{4!}+\frac{iy^5}{5!}-\cdots\]
\[=(1-\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}-\cdots)+i(y-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{5!}-\cdots)\]
根据sin和cos的定义
\[cos(y)=1-\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}-\cdots\]
\[sin(y)=y-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{5!}-\cdots\]
所以
\[e^{x+iy}=e^x\times e^{iy}=e^x\times (cos(y)+isin(y))\]
得证：
\[e^{iy}=cos(y)+isin(y)\]

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