傅里叶变换

傅里叶变换

傅里叶积分

一个以T为周期的函数$f_T(t)$，如果在$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$上满足狄利克雷条件（满足：1.连续或只有有限个第一类间断点；2.只有有限个极值点），那么在$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$上就可以展成傅里叶级数。在$f_T(t)$的连续点处，级数的三角形式为:$$f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t)$$
其中，（推导方式：对傅里叶级数从$-\pi$到$\pi$积分。）$$\omega =\frac{2\pi }{T}$$
\begin{array}{l}a_0={\textstyle\frac{2\pi}T}\int_{-{\textstyle\frac2T}}^{\textstyle\frac2T}f_T(t)dt\\end{array}
\begin{array}{l}a_n={\textstyle\frac{2\pi}T}\int_{-{\textstyle\frac2T}}^{\textstyle\frac2T}f_T(t)\cos n\omega tdt\\end{array}
\begin{array}{l}b_n={\textstyle\frac{2\pi}T}\int_{-{\textstyle\frac2T}}^{\textstyle\frac2T}f_T(t)\sin n\omega tdt\\end{array}
为了方便应用，通常将傅里叶级数的三角形式转换为复指数形式。利用欧拉公式：
$$\begin{array}{l}{e}^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi \end{array}$$
或
$$\begin{array}{l}\cos \phi =\frac{e^{i\phi }+e^{-i\phi }}{2}\end{array}$$
$$\sin \phi =\frac{e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}=-i\frac{e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2}$$
则傅里叶技术的三角形式可转换为：
$$f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_n\frac{e^{jn\omega t}+e^{-jn\omega t}}{2}+b_n\frac{e^{jn\omega t}+e^{-jn\omega t}}{2j}]$$
$$=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }[\frac{a_n-j{b}_n}{2}{e}^{jn\omega t}+\frac{a_n+j{b}_n}{2}{e}^{-jn\omega t}]$$
令
\begin{array}{l}{\textstyle c_0=\frac {a_0}2}={\textstyle\frac{2\pi}T}\int_{-{\textstyle\frac2T}}^{\textstyle\frac2T}f_T(t)dt\\end{array}
$$c_n=\frac{a_n-j{b}_n}{2}=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)e^{-jn\omega t}dt(n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3...)$$
$${\omega }_n=n\omega$$
则可得傅里叶级数的复指数形式：
$$f_T(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{j{\omega }_{n}t}$$
$$=\frac{1}{T}\sum _{n=-\infty }^{\infty }[{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)e^{-j{\omega }_{n}t}dt]e^{j{\omega }_{n}t}$$
对于非周期函数而言：
$$\underset{T\to \infty }{\lim }{f}_T(t)=f(t)$$
$$f(t)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}\sum _{n=-\infty }^{\infty }[{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)e^{-j{\omega }_{n}t}dt]e^{j{\omega }_{n}t}$$
当$T\to +\infty$时，有$△\omega \to 0$，上式可写为：
$$f(t)=\underset{△\omega \to 0}{\lim }\frac{1}{2\pi }\sum _{n=-\infty }^{\infty }[{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)e^{-j{\omega }_{n}t}dt]e^{j{\omega }_{n}t}△\omega ............（1）$$
当t固定时，令${\Phi }_T(\omega )=\frac{1}{2\pi }[{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)e^{-j{\omega }_{n}t}dt]e^{j{\omega }_{n}t}$。
则（1）可写为：

$$f(t)=\underset{△\omega \to 0}{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Phi }_T(\omega )△\omega$$
当$△\omega \to 0$，即$T\to -\infty$时，${\Phi }_T(\omega )\to \Phi (\omega )$,此时：$\Phi (\omega )=\frac{1}{2\pi }[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_T(t)e^{-j\omega t}dt]e^{j\omega t}$。
从而f(t)可视为${\Phi }_T(\omega )$在$(-\infty ,+\infty )$上的积分
$$f(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\Phi (\omega )d\omega$$
即，
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \right]e^{j\omega t}d\omega ......傅里叶积分公式的复指数形式$$

傅里叶积分定理

若f(t)在$(-\infty ,+\infty )$上满足下列条件：1.f(t)在任意有限区间上满足狄利克雷条件；2.f(t)在无限区间$(-\infty ,+\infty )$上绝对可积（即积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }|f(t)|dt$收敛），则有
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \right]e^{j\omega t}d\omega$$成立。
*左端的f(t)在它的间断点t处，应以$\frac{f(t+0)+f(t-0)}{2}$来代替。
$$f(t)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )cos\omega (t-\tau )d\tau \right]e^{j\omega t}d\omega ........傅里叶积分的三角形式$$

傅里叶变换

傅里叶变换的概念

若函数f(t)满足傅里叶积分定理中的条件，则在f(t)的连续点处，便有：
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \right]e^{j\omega t}d\omega$$
设
$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt......傅里叶变换式$$，则$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega ...........傅里叶逆变换式$$
可记为：$F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)]$
$f(t)={\mathcal{F}}^{(-1)}[F(\omega )]$
$F(\omega )$叫做f(t)的象函数，f(t)叫做$F(\omega )$的象原函数。