斜率、梯度(完全不一样的理解)

本文深入探讨了数学中维度的概念,解析了一维、二维及三维的特性与混淆之处,特别是对于函数的一维到多维的理解。同时,文章区分了斜率与梯度的本质差异,强调了它们在不同维度上的应用,以及如何正确理解和使用这些概念。

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为什么要写这两个,因为确实是网上教材很多,讲解也很多,在这里说一下自己的见解,仅供参考,有异议可以在下评论,谢谢。
1.眼见为假
我们很多时候所看到的实质其实是有误的,我们会看到比本质高一维或者比本质低一维的东西。比如我们看到的y=x和z=y+x,大家仔细想想,是不是感觉是在一个维度的?
y=x是一元函数,z=y+x是二元函数,f=z+y+x是三元函数。这么说来一元就是一维,二元就是二维,三元就是三维?
其实是可以这么理解的,那如果这么理解了我们,有一个维度我们就错了,哪错了?
一维错了,很明显,我们在画图时直接画的y=x为一条直线,这里是不对的。因为一维只能代表点,不可能有线存在,那为什么这里我们画出了线?我们预判了,预判了y=x接下来发生的事情。
和二维作比较,二维就没有预判,它很安分地做着一条线,它没有预判接下来它会怎么变。
和三维作比较,三维也很正常,它就做为一个曲面放在那里,没有预测接下来怎么变。
所以我们这里就有问题了,我们混淆了一维和二维,其实也就是混淆了y=x和z=x+y。
接下来可以看到,混淆之后,我们的切线和梯度是多么地难以度量。
2.斜率、梯度傻傻分不清楚
斜率定义为在曲线在一个点的切线,梯度定义为在曲线上曲线的法线方向。
其实你不咀嚼文字,你真的很难理解,斜率和梯度都是针对曲线的……他们的维度一样了……
其实不然,斜率是针对的点,梯度是针对的线,这里定义的很清楚。
那为什么都在线上进行的操作???
不要被眼睛骗了
确实很多教材都是在线上进行的讲解,导致大家混淆,为啥一会切线,一会法线的。
一维的斜率针对的二维的线,
二维的梯度针对的三维的面。
三维的……针对的四维……。好吧我写不出来了
说白了,都是一种预测的趋势,下一步向哪里变。
函数就是一种运动,我们求导,求啥的,都是为了预测下一步的量或是检验上一步的量。
点在沿着线变,线在沿着面变,面时沿着体变。
所以公式的演化就变成了

讲到这里,我们就能够看出这些其实就是我们对函数的预测,预测建立在比函数高一维的维度。
 

### 梯度斜率的概念及其在机器学习中的联系 #### 斜率的定义 斜率通常用于一维情况下的直线方程中,表示直线上两点间垂直距离与水平距离之比。它是衡量一条线相对于坐标轴倾斜程度的数量指标[^2]。具体而言: - **一元函数**:如果有一个单变量函数 \( f(x) \),那么它的导数 \( f'(x) \) 就代表了该点处切线的斜率。 #### 梯度的定义 梯度则是扩展到了多维度空间的一种概念,适用于多元函数的情况。对于一个具有多个自变量的标量场(如三维空间中的温度分布),梯度是一个矢量,其方向指出了这个标量场增长最迅速的方向,而大小则给出了增长率的最大值[^1]。 - **多元函数**:假设我们有这样一个二元函数 \( z=f(x,y) \),那么它的梯度就可以写作: \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] 这实际上是由两个偏导数组成的一个向量,分别对应着各自独立变量方向上的瞬时变化速率。 #### 联系与差异 尽管两者都反映了某种形式的变化率,但它们之间存在着明显的区别: - **维度同**:斜率主要针对单一维度的对象;而梯度涉及更高维度的空间结构分析。 - **物理意义**:在一个简单的平面图上画出曲线并测量角度得到的就是所谓的“斜率”,但是当我们面对复杂的地形地貌数据集时,则需要用到更加抽象强大的工具——也就是这里的“梯度”。 过,在某些特殊条件下二者也可能相互转化。例如在一维情形下讨论问题的时候,梯度退化成了普通的导数值或者说斜率[^3]。 ```python import numpy as np def compute_gradient(func, point): h = 1e-5 # small step size for numerical differentiation grad = [] for i in range(len(point)): delta_vec = np.zeros_like(point).astype(float) delta_vec[i] += h func_plus_h = func(*(point + delta_vec)) func_minus_h = func(*(point - delta_vec)) partial_derivative = (func_plus_h - func_minus_h)/(2*h) grad.append(partial_derivative) return np.array(grad) # Example usage with a simple quadratic function of two variables. quadratic_func = lambda x, y : x**2 + y**2 example_point = np.array([1., 1.]) grad_at_exampoint = compute_gradient(quadratic_func, example_point) print("Gradient at the given point:", grad_at_exampoint) ``` 此Python脚本演示如何通过有限差分近似计算任何给定点附近的梯度估计值。这里选取了一个典型的二次型作为测试对象,并展示了相应的实现细节。 --- ###
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