可逆矩阵的特征值和原来矩阵_秩1为矩阵的特征值、特征向量讨论

前文《绕开|λE-A|求特征值：一类特殊情况》讨论了秩为1的矩阵特征值特点，本文继续从秩1矩阵的角度探析3阶到n阶情况下的特征向量特点。

一、A为3阶矩阵，r(A)=1

由题意知,A的特征值分别为αβ^T的迹(λ₁=β^Tα)和0(λ₂=λ₃=0)。

A的特征多项式方程分别为：

(A-0E)x = 0   、  (A-β^TαE)x = 0.

(i)(A-β^TαE)x = 0

由题意A=αβ^T，两边同时乘以向量α得：

Aα = α(βTα)= λ₁α

从而α就是对应特征值λ₁的特征向量ζ₁(读作Epsilon)：

(ii)(A-0E)x = 0

化简上式有：Ax = 0,相当于对应λ₂=λ₃的特征向量是x的基础解系。又rA=1,，n-r(A)=3-1=2，有两个解向量ζ₂ζ₃，并且ζ₂ζ₃线性无关。

等价于求β^Tx = 0的解向量(b1x1+b2x2+b3x3 = 0)。从而得到对应特征值λ₂λ₃的特征向量ζ₂ζ₃

二、广义化，A为n阶矩阵，r(A)=1

同上，A的特征值分别为λ₁=β^Tα，λ₂=λ₃=...=λ_n=0).

将λ代入特征多项式方程(A-λE)x = 0如下：

(A-0E)x = 0   、  (A-β^TαE)x = 0.

(i)(A-β^TαE)x = 0

由题意A=αβ^T，两边同时乘以向量α得：

Aα = α(βTα)= λ₁α

从而α就是对应特征值λ₁的特征向量ζ_1：

(ii)(A-0E)x = 0

n-r(A)=n-1,后n-1个的特征向量ζ₂...ζ_n是Ax=0的基础解系，ζ₂...ζ_n线性无关。

等价于求β^Tx = 0的解向量_：

特别地，若A为实对称矩阵，则存在相似矩阵P=[ζ₁ζ₂...ζ_n]使A相似对角化Λ：

参考文献

[1]李永乐.线性代数辅导讲义.西安交通大学出版社.2020.3:P2.

[2]张宇.考研数学题源探析经典1000题.北京理工大学出版社.2020.3:P99

一切繁琐问题必有其猥琐解法

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