证明任意n个连续正整数的乘积一定是n!的倍数

证明任意$n$个连续正整数的乘积一定是$n!$的倍数。

目前笔者已知的只能用排列组合法来证明，欢迎大佬补充。

排列组合法证明任意$n$个连续正整数的乘积一定是$n!$的倍数：

证明：设这$n$个连续自然数分别为
$k,k+1,k+2,k+3,...,k+n-1.\left(k\in N^{\ast }\right)$
$P=\prod _{i=0}^{n-1}\left(k+i\right)=A_{k+n-1}^n$
根据排列数和组合数之间的关系式，$A_m^n=C_m^n\ast A_n^n$
因此，$A_{k+n-1}^n=C_{k+n-1}^n\ast A_n^n=C_{k+n-1}^n\ast n!$
所以，$P=A_{k+n-1}^n=C_{k+n-1}^n\ast n!$
即$k(k+1)(k+2)(k+3)...(k+n-1)=M\ast n!$
其中，$M=C_{k+n-1}^n\in N^{\ast }$
所以，这连续$n$个正整数的乘积一定是$n!$的倍数。

笔者认为的错误证明：

证明：$n=1$时明显成立
假设$n=k$也成立
$n=k+1$时,令$S_n$表示任意连续$n$个正整数的乘积
$S_{k+1}$=$S_k\ast A_{k+1}=m\ast k!\ast A_{k+1}$
由于任意连续$(k+1)$个正整数中必有一个是$(k+1)$的倍数¹，
（笔者不赞同之处在于这里的因果关系²）
所以$m\ast A_{k+1}$一定能整除$(k+1)$,可令$m\ast A_{k+1}=(k+1)\ast p$
$S_{k+1}=p\ast (k+1)\ast k!=p\ast (k+1)!$
所以$n=k+1$时也成立
由归纳法知道，该结论成立。

注：“任意连续$(k+1)$个正整数中必有一个是$(k+1)$的倍数¹”
这句话笔者认为是赞同的。

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1. 对于所有的自然数，可以划分为2类，分别是被2除余0的和被2除余1的，即通常说的偶数和奇数，而相邻的两个数，必为1奇1偶，分别属于这两类。换言之，相邻的两个数必有1个被2除余0，也就是能被2整除，是2的倍数。因此这2个数的积一定能被2整除。 类似的，对于所有的自然数，可以划分为k类（其中k是正整数），分别是被k除余0的、余1的…余（k－1）的，而相邻的k个数，一定分别属于这k类，所以，相邻的k个自然数中必有1个数是k的倍数，因而相邻k个自然数的乘积一定能被k整除。 ↩︎ ↩︎

2. 因为$A_{k+1}$不一定是$(k+1)$的倍数，所以除去$(k+1)$的倍数后就不保证这些正整数的连续性了，$S_k=m\ast k!$ 也就不成立了。 ↩︎