本文讨论了从度量空间到度量空间的连续映射如何保持连通性。若$f$是从$(X,d_X)$到$(Y,d_Y)$的连续映射，且$E$为$X$中的连通子集，则证明了$f(E)$也是$Y$中的连通子集。通过反证法说明，如果$f(E)$可分解为两个相对开集的并集，则$X$也会被相应地分解，与$X$的连通性矛盾。
设 $f:X\to Y$ 是从度量空间 $(X,d_X)$ 到度量空间 $(Y,d_Y)$ 的连续映射.设 $E$ 是 $X$ 的连通子集,那么 $f(E)$ 是 $Y$ 的连通子集.证明:假设 $f(E)$ 不是 $Y$ 的连通子集,则 $f(E)$ 可以分解成两个不相交集合 $A$ 和 $B$ 的并,这两个集合都是相对于 $f(E)$ 的开集.根据 陶哲轩实分析 定理 13.1.5 ,可知 $f^{-1}(A)$ 和 $f^{-1}(B)$ 都是 $X$ 中的开集,且该两开集不相交(为什么?),且 $f^{-1}(A)\bigcup f^{-1}(B)=X$(为什么?),这表明 $X$ 是不连通的,这与 $X$ 的连通性矛盾.
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