[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.2

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本文详细阐述了如何通过数学证明来验证当0≤x≤π/2时，三角函数sin(x)小于等于x减去x立方除以3π的表达式。利用例4.3.19中的方法，通过一系列数学推导和不等式的证明，展示了该不等式的正确性。

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证明: $\dps{0\leq x\leq \frac{\pi}{2}}$ 时, $\dps{\sin x\leq x-\frac{1}{3\pi}x^3}$.

 

证明: 由例 4.3.19, $$\bex \sin x<x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120} =x-\frac{x^3}{3\pi}\sex{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi x^2}{40}}; \eex$$ 再据 $$\beex \bea \frac{\pi}{2}-\frac{\pi x^2}{40}\geq 1&\lra \frac{\pi x^2}{40}\leq \frac{\pi}{2}-1\\ &\lra \pi x^2\leq 20(\pi-2)\\ &\lra x^2\leq 20\sex{1-\frac{2}{\pi}}\\ &\ra x^2\leq \sex{\frac{\pi}{2}}^2\leq 4<\frac{20}{3}=20\sex{1-\frac{2}{3}}<20\sex{1-\frac{2}{\pi}} \eea \eeex$$ 即知结论成立.

裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》 P1~31
qq_45481282的博客
07-05 2468
裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》 第1天:1~31 第1章 一元函数极限 函数 关于反函数 只要是有f゜f⁻¹()，结果都为括号里的值 复合函数的反函数公式 奇函数、偶函数 整体的思想和反函数中第1条的思想。 例1.1.4任意对称区间上的任意函数总可以表示成一个偶函数与一个积函数的和，而且此表示方法唯一Important. 周期函数 不是所有周期函数一定存在最小正周期。狄利克雷函数。 连续的周期函数必有最小正周期。 例1.1.5周期函数内部
裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》P31~60
qq_45481282的博客
07-07 2332
裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》 第2天31~60 第1章 一元函数极限 3.求极限值的若干方法 利用等价代换和初等变形求极限。 等价代换。 先求出可以求出来的值。 根号内最好转变为一个常数和一个分式的和。 等价无穷小代换。 注意只有在x出现的时候才可以用，如果是常数不能用等价无穷小代换，比如说1.3.1的第4问。efx-eb不能等价代换成efx-1-eb+1因为必是常数，所以不能够这样等价无穷小代换。应该以整体的思想，然后进行等价无穷小代换。 等价代换原理，源于分
数学分析中的典型问题与方法 有提示版 高清版裴礼文.pdf
05-27
数学分析中的典型问题与方法 有提示版 高清版裴礼文.pdf
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.21
weixin_34104341的博客
05-16 305
设数 $a&gt;0$, $\sed{p_n}$ 是一个数列, 并且 $p_n&gt;0$, $p_{n+1}\geq p_n$. 证明: 级数 $$\bex \vsm{n}\frac{p_n-p_{n-1}}{p_np_{n-1}^a} \eex$$ 收敛. (国外赛题)   证明: 由 $p_{n+1}\geq p_n$ 知   (1). $\dps{\vlm{n}p_n=p&gt;0...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.26
weixin_34310127的博客
05-26 176
需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html    设 $f(x)$ 是 $[-\pi,\pi]$ 上的凸函数, $f'(x)$ 有界. 求证: $$\bex a_{2n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos 2nx\rd x\geq 0;\quad a_{2n+1}=\frac{...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.8
weixin_33736048的博客
05-25 313
将条件 $f(x)\neq 0$ 换为 $f''(x)&lt;0$, 重新证明例 4.3.5.   证明: 由 $f''(x)&lt;0$ 知 $f$ 为凹函数, $$\bex f(x)=f(x\cdot 1+(1-x)\cdot 0) \geq x\cdot f(1)+(1-x)\cdot f(0)=0,\quad 0&lt;x&lt;1. \eex$$ 而可仍按照例 4.3.5 完成证明....
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.4.7
weixin_34087503的博客
05-10 203
若 $u_1,u_2,\cdots,u_n\geq 0$, $u_1\cdot u_2\cdots u_n=1$, 则有 $u_1+u_2+\cdots+u_n\geq n$. 试证明这一结论, 并由它导出定理 3 (平均值定理). 证明: H\"older 不等式很容易推广为 $$\bex \sum_{i=1}^n \frac{1}{p_i}=1,\quad 1&lt;p_i&lt;\inft...
裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》第三版课后习题留白
最新发布
04-24
裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》第三版课后习题留白
数学分析中的典型问题与方法(裴礼文）
06-24
### 数学分析中的典型问题与方法(裴礼文) #### 核心知识点概览 - **数学分析**：数学的一个分支领域，主要研究实数、复数及其函数、极限、连续性、导数、积分等内容。 - **典型问题**：在数学分析中，常见的难题与...
数学分析中的典型问题与方法
04-02
数学分析中的典型问题与方法.数学分析的经典教材一般推崇华东示范大学和复旦大学出的《数学分析》，习题的话钱吉林的《数学分析解题精粹》，北大的《数学分析解题指南》
数学分析中的典型问题与方法_数学分析中的典型问题与方法(裴礼文)
weixin_32508515的博客
01-29 2998
《数学分析中的典型问题与方法(第2版)》是为正在学习数学分析(微积分)的读者、正在复习数学分析(微积分)准备报考研究生的读者以及从事这方面教学工作的年轻教师编写的。遵循现行教材的顺序，《数学分析中的典型问题与方法(第2版)》全面、系统地总结和归纳了数学分析问题的基本类型，每种类型的基本方法，对每种方法先概括要点，再选取典型而有相当难度的例题，逐层剖析，分类讲解。然后分别配备相应的一套...
数学分析中的典型问题与方法_典型问题与方法：2020中科大数学分析考研题
weixin_39915171的博客
01-29 541
建议拿到问题后先独立思考，试试自己做会如何处理，经过独立思考过后再参看我们给出的思路和解答，这样收获会更大。这也正是我们刻意将问题与解答分开的原因。持之以恒，经过一段时间的训练和积累，相信大家分析问题和解决问题的能力会有明显提高。通过平常的日积月累，见多识广，才能厚积而薄发！注：我们推送的问题与方法从典型性、重要性、新颖性等多方面经过精心挑选；给出的解答过程力求详细清晰，有些过程不一定就...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.8
weixin_34367257的博客
05-11 475
需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html      设 $f(x)$ 在 $[a,\infty)$ 上可微; 且 $x\to\infty$ 时, $f'(x)$ 单调递增趋于 $+\infty$, 则 $$\bex \int_a^\infty \sin f(x)\rd x,\quad \int_a^\infty \...
数学分析中的典型问题与方法_裴礼文数学分析中的典型问题与方法练习2.4.11参考解答...
weixin_39669204的博客
01-29 835
裴礼文《数学分析中的典型问题与方法》练习2.4.11参考解答练习2.4.11：设在任何有界闭区间上可积，且满足函数方程证明：, 为常数。证明：结论1：设在区间上可积，证明至少有一个连续点。事实上，任意给, 根据可积定理，存在区间的分割且成立断言：存在一个小区间使得在上的振幅满足否则，就有矛盾。取, 根据上面讨论，存在的子区间上满足其上的振幅现在选择满足由于在可积， 取, 同理存在的子区间...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.16
weixin_34037977的博客
05-11 209
例 4.5.37 的逆命题不成立, 即 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调, $\dps{\vlm{n}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1} f\sex{\frac{i}{n}}}$ 存在, $\dps{\int_0^1 f(x)\rd x}$ 可以不收敛. 解答: 取 $$\bex f(x)=\frac{1}{x}-\fra...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.10
weixin_34126557的博客
05-11 486
证明 $\dps{\lim_{x\to\infty}\int_0^\infty \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\rd t=0}$.   证明: 由 $$\beex \bea 0&amp;\leq \int_0^\infty \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\rd t=-\frac{1}{x}\int_0^\infty \frac{1}{1+t^2}\rd e^{-tx}\...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.26
weixin_33913332的博客
05-16 308
(1). 求证: 当 $s&gt;0$ 时, $\dps{\int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x}$ 收敛;   (2). 求证: 当 $s&gt;1$ 时, $$\bex \int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}\vsm{n}\frac{1}{n^s}. \e...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.29
weixin_33871366的博客
05-16 264
需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html    证明: $\dps{\vlm{n}\sed{\sum_{k=2}^n \frac{1}{k\ln k}-\ln\ln n}}$ 存在 (有限).   证明: 设 $\dps{a_n=\sum_{k=2}^n \frac{1}{k\ln k}-\ln\ln n}$, ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.4.4
weixin_33872660的博客
05-10 283
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可微 ($0&lt;a&lt;b$), $f(a)=f(b)=0$, $\dps{\int_a^b f^2(x)\rd x=1}$. 试证: $$\bex \int_a^b x^2f'^2(x)\rd x&gt;\frac{1}{4}.     \eex$$ 证明: $$\beex \bea 1&amp;=\sez{\int_a^b f^2(x)\rd...
典型方法_裴礼文老师编数学分析中的典型问题与方法练习参考答案的说明
06-08
该书介绍了数学分析中的典型问题和方法，并提供了大量的练习题和参考答案。在参考答案中，作者详细解释了每个问题的解题思路和步骤，并提供了详细的计算过程和图示。 这本教材的主要特点是强调问题的典型性和方法的...
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